공학도를 위한 수치해석

●chapter 1 컴퓨터와 오차

1.1 서론 1
1.2 수치해법의 필요성 2
1.3 물리현상의 수학적 모델링 6
1.4 소프트웨어의 개발과정 9
1.5 컴퓨터에서 수의 표현 11
1.5.1 이진법 11
1.5.2 부동소수점 표현 12
1.6 오차 16
1.6.1 정밀도와 정확도 16
1.6.2 절대오차와 상대오차 17
1.6.3 오차의 종류 20
1.7 오차의 전파 29
1.8 총수치오차 32
1.9 불확실성 해석 34
연습문제 40

●chapter 2 방정식의 근

2.1 서론 53
2.2 방정식의 해의 근방과 정확한 해의 결정 54
2.2.1 해의 근방을 찾는 과정 54
2.2.2 정확한 해를 구하는 과정 54
2.3 도식법 55
2.4 증가탐색법 56
2.5 이분법 57
2.6 선형보간법 61
2.7 고정점 반복법 67
2.7.1 오차해석 68
2.8 Newton법 70
2.8.1 오차해석 73
2.8.2 오차 정도 74
2.9 Secant법 76
2.9.1 수렴속도 77
2.9.2 다중근 79
2.10 Muller법 80
2.11 다항식에 대한 Bairstow법 83
2.12 연립 비선형 방정식 89
2.13 요약 93
2.14 응용문제 94
컴퓨터 프로그램 97
연습문제 100

●chapter 3 연립 선형 방정식

3.1 서론 113
3.2 행렬의 기본적 성질 115
3.2.1 행렬의 정의 115
3.2.2 대각선 지배성 118
3.2.3 행렬의 대수 연산 118
3.3 행렬식과 역행렬 121
3.4 연립 선형 방정식 123
3.5 Crammer의 공식 125
3.6 삼각 계수행렬을 갖는 연립 선형 방정식 126
3.7 직접법 128
3.7.1 Gauss소거법 128
3.7.2 Gauss-Jordan소거법 138
3.8 LU 분해법 140
3.9 삼대각행렬 형태를 갖는 연립 선형 방정식 145
3.10 Block삼대각행렬 형태의 연립 선형 방정식 148
3.11 반복법 155
3.11.1 Jacobi반복법 155
3.11.2 Gauss-Seidel법 158
3.12 행렬의 고유값과 고유벡터 162
3.12.1 멱승법 167
3.12.2 역멱승법 170
3.12.3 고유값의 이동 174
3.12.4 Hotelling수축법 178
3.12.5 Jacobi법 182
3.13 요약 193
3.14 응용문제 194
컴퓨터 프로그램 201
연습문제 208

●chapter 4 적합곡선

4.1 서론 219
4.2 다항식의 성질 220
4.3 Lagrange 보간다항식 224
4.4 보간다항식의 오차 226
4.5 차분표 229
4.5.1 분할차분 232
4.6 Newton의 보간다항식 234
4.6.1 Newton의 전진차분 보간다항식 238
4.6.2 Newton의 후진차분 보간다항식 241
4.7 다변수함수에 대한 보간 243
4.8 역보간법 246
4.9 Spline 보간법 248
4.10 최소자승법 255
4.10.1 직선에 대한 최소자승법 257
4.10.2 고차 다항식에 대한 최소자승법 260
4.10.3 비선형 관계식의 선형화 264
4.10.4 최소자승법에 대한 행렬공식 267
4.10.5 2변수 최소자승법 270
4.11 Fourier 근사 274
4.11.1 정현파 함수의 최소자승법 274
4.11.2 Fourier의 급수와 Fourier의 적분 278
4.11.3 이산 Fourier의 변환 282
4.11.4 고속 Fourier변환 287
4.12 요약 292
4.13 응용문제 292
컴퓨터 프로그램 298
연습문제 303

●chapter 5 수치 미분과 적분

5.1 서론 317
5.2 Newton의 차분 보간다항식을 이용한 미분 318
5.2.1 Newton의 전진차분 보간다항식에 의한 미분 319
5.2.2 Newton의 후진차분 보간다항식에 의한 미분 321
5.3 Taylor급수를 이용한 미분 325
5.3.1 균일 간격에서의 미분 325
5.3.2 비균일 간격에서의 미분 329
5.4 편도함수 331
5.5 Newton-Cotes의 적분공식 334
5.5.1 사다리꼴 법칙 335
5.5.2 Simpson의 1/3 법칙 338
5.5.3 Simpson의 3/8 법칙 341
5.6 Richardson의 보외법 344
5.7 적응적분법 347
5.8 Gauss구적법 350
5.9 이상적분 355
5.9.1 적분구간 끝에서 피적분함수가 정의되지 않는 경우 355
5.9.2 적분구간이 무한대인 경우 356
5.10 다중적분 358
5.11 요약 363
5.12 응용문제 363
컴퓨터 프로그램 369
연습문제 372

●chapter 6 초기치 문제

6.1 상미분방정식의 개론 381
6.1.1 상미분방정식의 일반적인 특징 382
6.1.2 상미분방정식의 수학적 및 물리적 분류 384
6.1.3 이산화 386
6.1.4 이산화방정식의 일치성 및 수렴성 387
6.1.5 수정미분방정식 389
6.2 초기치 문제의 개론 391
6.3 Taylor급수법 392
6.4 Euler법 395
6.5 수정 Euler법 402
6.6 Runge-Kutta법 405
6.6.1 2계 Runge-Kutta법 406
6.6.2 4계 Runge-Kutta법 408
6.6.3 Runge-Kutta법의 오차계산 410
6.6.4 Runge-Kutta Fehlberg법 411
6.7 다점법 415
6.7.1 Adams-Bashforth 법 416
6.7.2 Milne 법 418
6.7.3 Adams-Bashforth-Moulton 법 419
6.7.4 Adams-Bashforth-Moulton 법의 오차계산 420
6.8 연립 상미분방정식 426
6.9 고계 상미분방정식과 적분형 미분방정식 428
6.10 Stiff 상미분방정식 431
6.11 초기치 문제에 대한 수치해법 비교 436
6.12 응용문제 439
컴퓨터 프로그램 441
연습문제 444

●chapter 7 경계치 문제

7.1 서론 457
7.2 사격법 457
7.3 유한차분법 463
7.3.1 Dirichlet 경계조건 464
7.3.2 Neumann 경계조건 467
7.3.3 혼합 경계조건 472
7.3.4 무한경계에서 경계조건 473
7.4 고계 유한차분법 475
7.5 비선형 경계치 문제 478
7.5.1 반복법 478
7.5.2 Newton법 480
7.6 고유치 문제 483
7.7 사격법과 유한차분법의 비교 486
7.8 응용문제 487
컴퓨터 프로그램 495
연습문제 504

●chapter 8 타원형 편미분방정식

8.1 서론 513
8.2 편미분방정식의 수학적 분류 513
8.3 타원형 편미분방정식의 유한차분법 522
8.3.1 유한차분방정식 522
8.3.2 해법 526
8.3.3 경계조건 533
8.3.4 비균일 격자계 534
8.4 곡면경계 545
8.5 비선형 방정식 551
8.5.1 반복법 551
8.5.2 Newton의 반복선형화 552
8.6 응용문제 557
컴퓨터 프로그램 561
연습문제 570

●chapter 9 포물선형 편미분방정식

9.1 서론 579
9.2 격자계 및 차분식 582
9.3 FTCS법 584
9.3.1 이산화오차 586
9.3.2 안정성 해석 587
9.3.3 기타 양함수법 590
9.4 BTCS법 596
9.4.1 이산화오차 599
9.4.2 안정성 해석 599
9.5 Hopscotch 법 603
9.6 Crank-Nicolson법 607
9.7 고정도차분법 612
9.7.1 다점양함수법 613
9.7.2 다점 Crank-Nicolson 법 617
9.8 다차원 문제 624
9.8.1 ADI 법 626
9.8.2 근사 인수분해법 627
9.8.3 ADE 법 629
9.9 응용문제 639
컴퓨터 프로그램 643
연습문제 647

●chapter 10 쌍곡선형 편미분방정식

10.1 서론 655
10.2 유한차분화 657
10.2.1 기본적인 양함수 및 음함수법 658
10.2.2 1계 상류도식 660
10.2.3 Lax 법 661
10.2.4 leapfrog 법 662
10.2.5 Lax-Wendroff의 1단계법 663
10.3 다단계법 673
10.3.1 Lax-Wendroff 2단계법(Ritchtmyer법) 674
10.3.2 MacCormack 법 675
10.3.3 2계 상류도식 677
10.4 비선형 문제 677
10.4.1 Lax 법 678
10.4.2 Lax-Wendroff 법 679
10.4.3 MacCormack 법 680
10.4.4 Beam과 Warming 법 681
10.5 선형감쇠 686
10.6 응용문제 695
컴퓨터 프로그램 698
연습문제 701

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