수학에세이 1

들어가며…… 4

01 수
자연수의 기원, 눈…… 11
손가락…… 15
0 …… 19
지수…… 24
실수와…… 허수 28
디지털…… 34

02 대수
사칙연산…… 41
음수…… 44
컴퓨터…… 게임 49
동류항 53
주판과 문자연산…… 56

03 기하
피타고라스의 정리…… 63
연역법과 귀납법…… 67
작도…… 72
점…… 76
평행성…… 공리 80
60분법…… 86

04 미적
낙하운동…… 95
달과 사과…… 100
미분방정식…… 105
넓이 구하기…… 111
미적분학의 기본…… 정리 116
원론과 프린키피아…… 123

05 확률
극한-확률…… 131
베이즈의 정리1…… 135
진화와 확률…… 141
집합과 무한…… 145
명제, 컴퓨터, 인공지…… 151

원론과 프린키피아


원론

고대 그리스 기하학을 집대성한 사람이 유클리드이다. 유클리드는 고대 그리스 기하학을 집대성한 책 ‘원론(elements)’를 썼다. 흔히 어떤 학문을 종합적으로 개괄한 책을 원론 또는 개론이라고 부른다. 경제학 원론, 물리학 개론 등이 그러하다. 유클리드가 책의 이름을 원론으로 정한 것은 고대 그리스인들의 기하학적 성과를 총정리했다는 의미이다.
실제로 원론의 구성이 그러하다. 원론은 피타고라스의 정리와 같은 어떤 수학적 사실에 대한 소개를 넘어 기하학 지식 전체를 종합하려는 의도와 지향을 갖고 있다. 따라서 그는 애써 기하학의 기초가 되는 몇 가지 문제들을 정리하고 여기서부터 책을 시작한다.
원론은 먼저 23개의 정의를 시작한다. 23개의 정의 중 첫 번째는 유명한 “점은 쪼갤 수 없는 것이다” 사실을 거슬러 거슬러 기원에서부터 문제를 설명하고자 하는 자세를 엿볼 수 있다. 이어 5개의 공리로 이어진다. 여기에는 5번째로 유명한 평행선 공리가 있다. 다음으로는 5개의 상식이 있다. 상식 5번째는 “전체는 부분보다 더 크다”는 내용이 있다. 원론은 23개의 정의, 5개의 공리, 5개의 상식에 기초하여 465개의 정리를 담고 있다.
원론은 수학을 넘어 철학적. 사회적 측면에까지 광범위하게 결정적인 영향을 미쳤다. 원론은 몇 가지 공리에 기초하여 연역적으로 진리를 구성하는 방법을 제시했다. 경험적 사실로부터 의미 있는 결론을 도출하는 것은 상대적으로 쉬운 일이다. 그러나 경험이라는 한계에 묶여 있는 만큼 만인이 승복할만한 권위를 도출하기 어렵다. 반면 공리로부터 진리를 구성하는 방법은 일정한 사회적 합의를 도출할 수 있다면 많은 사람들이 폭넓게 받아들일 수 있는 진리 체계를 만들 수 있다.
따라서 프랑스 인권선언이나 미국 독립선언서와 같은 근대 사회의 기념비적인 문서들 다수가 원론의 서술 방식을 따르고 있다. 가령 모든 인간은 평등하다라는 사실을 공리로 채택한 후 이로부터 논리적으로 다양한 사회적 원리들을 도출하는 것이다. 그런 면에서 원론은 수학책을 넘어 근대 사회의 운영원리를 논리적으로 도출한 새로운 사고의 전범이라 할 수 있다.
중학교 때 기하를 배우면서 체계적이고 논리적인 증명을 중시하고 이를 강조하는 이유도 그것이 수학을 넘어 시민 윤리와 직결된다고 보기 때문이다.

프린키피아

원론이 근대 사회에서 강력한 영향을 미친 만큼 근대 지식인들은 원론의 영향을 받았다. 뉴턴도 예외가 아니다. 뉴턴은 1687년 그의 저서를 ‘자연철학의 수학적 제 원리’라 명명했다. 자신의 책이 유클리드의 원론과 비슷한 레벨이라는 것이다. 여기서 원리는 영어로 principle인데 이를 라틴어로 읽으면 프린키피아이다. 덕분에 뉴턴의 책을 간단히 일컬을 때 프린키피아라고 부른다.
제목뿐만 아니라 형식도 원론 그대로이다. 프린키피아에서 뉴턴은 8개의 물리량을 정의하고 3개의 운동법칙을 공리로 채택한다. 이어 지상에서 다양한 원리들을 정리한 후 3권에서 태양계를 분석한다. 원론의 설명 방식 그대로이다.
유클리드의 원론이나 뉴턴의 프린키피아 모두 실제 원문으로 보면 원저작을 가공한 글을 읽을 때와는 사뭇 다른 느낌을 받는다. 유클리드의 원론에는 숫자가 거의 등장하지 않는다. 반면 뉴턴의 프린키피아는 고대 그리스 기하학으로 뒤덮여 있다. 뉴턴이 미분을 창시한 점을 고려하면 프린키피아에는 미분으로 가득할 것 같지만 전혀 그렇지 않다. 뉴턴은 지금 우리가 보기에는 너무나 생소한 그리스 기하학을 동원하여 고통스럽게 운동법칙을 증명한다.
사실 그리스 기하학은 매우 정적인 대상을 다루는 과정에서 기원했다. 정적인 대상을 다루는 과정에서 출발한 수학 체계를 가지고 행성의 운동과 같은 운동과 변화를 설명하는 것은 쉽지 않았을 것이다. 이런 필요가 운동과 변화에 특화된 미적분을 낳은 동력일 것이다. 언제나처럼 역사는 인간의 필요에 의해 모습을 드러낸다.