Reset! 리셋 수학 미적분

추천사·미적분, 더 이상 어렵지 않다(김준교)
머리말·미적분은 특히 개념 이해가 중요하다

I 적분부터 이해하자

01 미분과 적분을 처음 만나다
02 미적분이란 무엇을 하는 걸까?
03 적분은 넓이를 구하는 것이다?
04 세상은 울퉁불퉁하기 일쑤다
05 적분의 특기는 이러한 양을 다루는 방법에 있다
06 적분식을 찬찬히 보면 알 수 있다
07 적분은 디지털 세상에 걸맞은 개념이다
08 적분은 의외로 쉽다

II 미분은 적분의 도우미

09 적분의 딜레마
10 얼마나 복잡한 계산이 실제로 해 보자
11 계산에 목숨을 걸었던 기나긴 역사
12 미분은 해결사!
13 미적분의 역사를 돌이켜 보자

III 미분을 다시 생각하다

14 미분이란 무엇인가
15 미분과 직선의 기울기
16 미분식으로 생각해 보자
17 미분은 변화하는 것을 알기 쉽게 만드는 것

IV 미분과 적분의 관계

18 미분을 적분에 이용한다는 의미는?
19 적분한 것을 미분하면 왜 원래대로 돌아갈까?
20 적분보다 미분이 인간답다?
21 미분방정식 맛보기
22 컴퓨터 시대의 미분과 적분

넓이는 방식을 정해 재면 된다. 하지만 재는 방식을 아무렇게나 정하면 안 된다. 누구나 잴 수 있고 누구나 납득할 수 있는 방법으로 재야만 하는 것이다.
그런 점에서 정사각형이나 직사각형의 넓이를 재는 방법은 간단하다. 단위를 정하고 직사각형의 넓이를 (가로)×(세로)로 계산한 크기라고 정하기만 하면 된다. 또 직사각형의 넓이를 바탕으로 삼각형이나 사각형 또는 오각형의 넓이를 재는 방법도 정할 수 있다. 이렇게 하면 누구나 똑같이 잴 수 있고 그 결과에 아무도 이의를 제기하지 않으므로 불편한 점은 하나도 없다.
그런데 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 재는 방법은 그렇게 간단히 정할 수 없다. 이때는 직사각형과 달리 어느 부분이 가로나 세로에 해당하는지를 찾기 어렵기 때문이다. 또 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 기껏해야 원의 넓이밖에 모르는데 원의 넓이를 이용해서 계산하는 방법이 있을 것 같지도 않다.
그러면 대체 어떻게 해야 할까?

지구 위의 땅이 실제로 평평하다는 것과 마찬가지로 일반적으로 곡선은 부분적으로 보면 직선이다.
이것은 곡선을 직선으로 어림한다는 말이 아니라 곡선을 점점 확대하다 보면 곡선을 직선이라고 생각할 수 있는 것이 된다는 뜻이다. 즉 범위를 점점 작게 해 가면 곡선의 구부러진 상태가 보이지 않게 되고 오로지 직선의 기울기만 남는다. 이렇게 해서 구부러짐이 있는 선인 곡선은 미분에 의해 기울기가 있는 직선으로 분해되고 차수 하나만큼 단순한 것으로 환원된다.
그리고 이 직선의 기울기에 관한 정보를 모으면 원래 곡선을 복원할 수 있게 된다. 물론 이 직선의 기울기는 한 점에서의 정보이고, 이러한 정보들을 모아 원래 곡선을 복원한다는 것은 곧 적분한다는 뜻이다.

다음과 같이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 3가지 생각해 보라.

① 한 변의 길이가 1cm2인 정사각형으로 도형을 덮어서 도형 속에 완전히 들어간 정사각형의 넓이는 1cm2, 도형 밖으로 조금 삐져나온 정사각형의 넓이는 0.5cm2로 계산한다.

② 폭을 1cm로 하여 세로로 길게 자르고 위아래로 남은 귀퉁이 부분을 잘라 내 길쭉한 직사각형으로 만든 뒤 그 직사각형의 넓이를 계산해 전부 합친다.

③ 무게를 재서 한 변의 길이가 1cm인 정사각형의 무게와 비교해 넓이를 계산한다.(햄 같은 음식을 떠올려 보라.) 예컨대 도형의 무게가 80g이고 정사각형의 무게가 2g이라고 치면 80g은 2g의 40배이므로 넓이도 40배인 40cm2다.

방법 1은 초등학교 교과서에도 실려 있을 만큼 알기 쉬운 방법이다. 그러나 정사각형의 수를 일일이 세어야 하는 번거로움이 있고 계산 방법을 더욱 발전시켜 나가다 보면 도중에서 막힐 수밖에 없으므로 여기에서는 이 이상 생각하지 않기로 한다. 방법 3은 어떤 의미에서는 가장 실행하기 쉬운 방법이지만 무게를 재지 못하면 아무런 소용이 없고, 지면 위의 넓이를 구할 때와 같은 경우에는 속수무책이므로 이 방법도 더 이상 생각하지 않기로 한다. 그러면 방법 2로 넓이를 구하는 길을 생각해 보자. 이것을 '길쭉하게 잘라 나누는 방법'이라고 부르기로 한다.
방법 2로 넓이를 재려다 보면 한 가지 문제가 생긴다. 길쭉한 직사각형으로 만들 때 위아래로 남는 귀퉁이 부분을 잘라 내야 하는데, 그렇게 하면 당연히 잘라 낸 부분만큼 실제 넓이보다 작아진다. 그렇다고 "조금 작아져도 상관없어!"라며 타협하고 싶지는 않다. 그러면 이 문제를 어떻게 해결해야 할까?