Optimization with PDE Constraints (Hardcover)

1 Analytical Background and Optimality Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Introduction and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Examples for optimization problems with PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Optimization of a stationary heating process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Optimization of an unsteady heating processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5 Optimal design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Linear functional analysis and Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Banach and Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 Weak convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3 Weak solutions of elliptic and parabolic PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 Weak solutions of elliptic PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.2 Weak solutions of parabolic PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4 G ateaux- and Fr echet Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.4.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.4.2 Implicit function theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.5 Existence of optimalcontrols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.5.1 Existence result for a general linear-quadratic problem . . . . . . . . . . . . 50 1.5.2 Existence results for nonlinear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.6 Reduced problem, sensitivities and adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.6.1 Sensitivity approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.6.2 Adjoint approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.6.3 Application to a linear-quadratic optimal control problem . . . . . . . . . . 57 1.6.4 A Lagrangian-based view of the adjoint approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 4 Contents 1.6.5 Second derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.7 Optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.7.1 Optimality conditions for simply constrained problems . . . . . . . . . . . . 61 1.7.2 Optimality conditions for control-constrained problems . . . . . . . . . . . . 66 1.7.3 Optimality conditions for problems with general constraints . . . . . . . . 74 1.8 Optimal control of instationary incompressible Navier-Stokes flow . . . . . . . . . . 80 1.8.1 Functional analytic setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.8.2 Analysis of the flow control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.8.3 Reduced Optimal Control Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2 Optimization