금융공학 2

머리말 v

제1장 Black-Scholes식을 유도하는 21가지 방법

1.1 Black-Scholes식 … 1
1.1.1 Black-Scholes환경 / 1
1.1.2 자기금융조건과 무재정조건 / 3
1.1.3 Black-Scholes식의 해석 / 4
1.1.4 Ito-Doeblin보조정리 / 8
1.2 이항나무모형과 옵션가치평가 … 9
1.2.1 이항나무모형 / 10
1.2.2 무재정이론 / 11
1.2.3 위험중립가치평가식 / 14
1.2.4 모수설정 / 16
1.2.5 연속시간형 가치평가식 / 19
1.2.6 배당이 있는 주식의 주가옵션 / 23
1.2.7 통화옵션 / 27
1.2.8 선물옵션 / 28
1.3. Black-Scholes식의 다양한 유도 … 33
1.3.1 편미분방정식 I / 33
1.3.2 편미분방정식 II / 36
1.3.3 위험의 시장가격 / 38
1.3.4 위험중립가치평가 / 39
1.3.5 Girsanov정리와 정적분 / 48
1.3.6 기준재 / 52
1.3.7 제2의 금융파생상품 / 56
1.3.8 Feynman-Kac정리 / 58
1.3.9 Kolmogorov후향미분방정식 / 60
1.3.10 Fokker-Planck-Kolmogorov방정식 / 62
1.3.11 특성함수 / 65
1.3.12 Plancherel-Parseval등식 / 67
1.3.13 최대엔트로피 / 68
1.3.14 Kullback-Leibler정보량 / 70
1.3.15 효용함수 / 73
1.3.16 다변량Girsanov정리 / 81
1.3.17 CAPM / 88
1.3.18 Hamilton-Jacobi-Bellman방정식 / 90
1.3.19 국소시간 / 95
1.3.20 보험계리학적 유도 / 97
1.3.21 비표준적해석 / 98
1.4 Black swan bites Black-Scholes … 101
참고문헌 … 107

제2장 Brown운동 111
2.1 확률보행 … 111
2.1.1 단순확률보행 / 111
2.1.2 축척대칭확률보행 / 113
2.1.3 이항분포와 대수정규분포 / 120
2.2 다변량정규분포 … 124
2.3 Brown운동의 정의 … 127
2.4 Brown운동의 표본경로 … 133
2.4.1 자기유사성 / 134
2.4.2 미분불가능성 / 135
2.4.3 비유계변분성 / 137
2.5 Brown운동의 Markov성과 마팅게일성 … 145
2.5.1 자연증대정보계 / 145
2.5.2 Brown운동의 Markov성 / 147
2.5.3 Brown운동의 마팅게일성 / 151
2.6 Brown운동에서 생성되는 확률과정 … 155
2.6.1 추세Brown운동 / 155
2.6.2 기하Brown운동 / 157
2.6.3 Brown다리 / 163
2.6.4 다변량Brown운동 / 169
2.7 정지시점과 반사원리 … 170
2.7.1 정지시점 / 170
2.7.2 반사원리 / 173
2.8 Brown운동의 최대값과 최소값 … 179
2.8.1 표준Brown운동의 최대값과 최소값 / 179
2.8.2 Markov연쇄와 확률밀도함수 / 186
2.8.3 추세Brown운동의 최대값과 최소값 / 191
2.9 Brown운동의 존재성 … 198
참고문헌 … 201

제3장 Ito적분과 확률미분방정식 203
3.1 Ito적분의 정의 … 204
3.1.1 Ito확산과정 / 204
3.1.2 Ito적분의 정의 / 208
3.2 Ito적분의 성질 … 219
3.3 Ito적분의 확장 … 225
3.3.1 증대정보계의 확장 / 226
3.3.2 기대값조건의 약화 / 228
3.3.3 확장된 Ito적분과정 / 229
3.4 Ito적분과 Stratonovich적분 … 230
3.5 Ito-Doeblin보조정리 … 234
3.5.1 단변량Ito-Doeblin보조정리 / 235
3.5.2 다변량Brown운동의 2차변분 / 255
3.5.3 다변량Ito-Doeblin보조정리 / 257
3.5.4 Ito-Doeblin보조정리의 유형 / 264
3.6 Black-Scholes식 … 285
3.6.1 자기금융조건과 재정 / 285
3.6.2 할인된 원자산과정 / 291
3.6.3 Black-Scholes방정식의 유도 I / 293
3.6.4 Black-Scholes방정식의 유도 II / 294
3.6.5 Black-Scholes식과 Black-Scholes방정식 / 297
3.6.6 Black-Scholes식과 무재정조건 / 302
3.6.7 풋콜패리티 / 305
3.7 그릭스 … 309
3.7.1 그릭스와 헤지 / 310
3.7.2 그릭스의 유도 / 318
3.8 Brown운동의 마팅게일특성 … 322
3.9 Wiener적분 … 334
3.10 Brown다리 … 342
3.10.1 Brown다리의 적률 / 342
3.10.2 Brown다리와 Wiener적분 / 343
3.10.3 Brown다리의 결합확률분포 / 350
3.11 국소시간 … 356
3.12 Black-Scholes방정식의 해 … 367
3.12.1 Black-Scholes방정식과 열전도방정식 / 367
3.12.2 Fourier변환에 의한 해 / 371
3.12.3 Black-Scholes식의 유도 / 373
3.12.4 변수분리법에 의한 해 / 375
3.12.5 Green함수에 의한 해 / 380
3.12.6 유사성축소에 의한 해 / 385
3.12.7 Taylor급수에 의한 해 / 387
참고문헌 … 389

제4장 위험중립가치평가식 391
4.1 요점추출법 … 391
4.2 단변량Girsanov정리 … 399
4.3 위험중립가치평가 … 406
4.3.1 위험중립확률측도 / 406
4.3.2 위험중립가치평가식 / 418
4.4 Black-Scholes식의 유도 … 423
4.4.1 기대값의 계산 / 423
4.4.2 Girsanov정리와 Black-Scholes식 / 429
4.5 마팅게일표현정리 … 433
4.5.1 표현정리 / 433
4.5.2 헤지와 마팅게일표현정리 / 449
4.6 자산가치평가의 근본적 정리 … 454
4.6.1 다변량Girsanov정리와 다변량마팅게일표현정리 / 455
4.6.2 순간상관계수 / 457
4.6.3 위험중립확률측도의 존재성 / 470
4.6.4 위험중립확률측도의 일의성 / 478
4.7 배당이 있는 주식 … 483
4.7.1 연속배당 / 483
4.7.2 상수계수의 연속배당모형 / 487
4.7.3 일괄배당 / 489
4.7.4 상수계수의 일괄배당모형 / 490
4.8 선도계약과 선물계약 … 492
4.8.1 선도계약 / 492
4.8.2 선물계약 / 494
4.8.3 선도선물스프레드 / 502
4.8.4 재고유지비용 / 503
4.9 Girsanov정리의 수리적 접근 … 508
4.10 SLSG전략 … 521
4.10.1 SLSG전략과 자기금융조건 / 521
4.10.2 SLSG전략과 Black-Scholes식 / 526
참고문헌 … 529

제5장 가치평가식들의 관계 531
5.1 헤지이론과 무재정이론 … 532
5.1.1 편미분방정식과 위험중립가치평가식 / 532
5.1.2 조건부기대값에서 편미분방정식으로 / 534
5.1.3 편미분방정식에서 조건부기대값으로 / 542
5.2 확률미분방정식 … 547
5.2.1 확률미분방정식의 예 / 547
5.2.2 Ito-Doeblin보조정리와 계수비교법 / 551
5.2.3 해의 존재성과 일의성 / 565
5.2.4 강해와 약해 / 573
5.3 Ito확산과정과 Markov성 … 577
5.3.1 시간동질적 Ito확산과정 / 577
5.3.2 Ito확산과정의 Markov성 / 580
5.3.3 Ito확산과정의 강Markov성 / 583
5.3.4 이동작용소 / 590
5.4 생성작용소와 특성작용소 … 592
5.4.1 편미분작용소 / 593
5.4.2 생성작용소 / 593
5.4.3 Dynkin식 / 599
5.4.4 특성작용소 / 603
5.5 마팅게일문제 … 609
5.6 Ito확산과정의 함수 … 612
5.7 Feynman-Kac정리 … 620
5.7.1 단변량Feynman-Kac정리 / 621
5.7.2 2변량 Feynman-Kac정리 / 628
5.7.3 Kolmogorov후향미분방정식 / 635
5.7.4 이자율모형과 Feynman-Kac정리 / 647
5.7.5 확률변동성모형과 Feynman-Kac정리 / 663
5.7.6 소멸율과 Feynman-Kac정리 / 673
참고문헌 … 676

찾아보기 … 679
Abstract … 691

Cox & Ross & Rubinstein (1979)이 처음으로 이항나무모형을 사용해서 옵션가치를 평가한 것으로 알려져 있으나, Rendleman & Bartter (1979)도 같은 결과를 발표하였다. 그 이전에, Sharpe (1978)가 이항나무모형법을 재무이론에 적용하였다. 경제학에서 이항나무모형이 사용된 것은 그보다 훨씬 이전으로서, 1950년대에 이미 Arrow와 Debreu가 경제현상을 설명하는 데 이항나무모형을 사용하였다. 그러나, 최근 본저자는 Bachelier (1901)가 이 기법을 사용한 것을 발견하고, Bachelier가 이룬 업적에 다시 한번 경의를 표하지 않을 수 없었다. Higham (2002)은 이항나무모형을 사용한 옵션의 가치평가에 대해 자세히 그리고 아주 쉽게 설명하고 있다.

Black-Scholes식을 유도하는 가장 고전적인 방법은 편미분방정식(partial differential equation: PDE)을 이용하는 것이다. 이러한 방법을 만기시점 T 전에도 권리를 행사할 수 있는 미국형옵션이나 경로독립적인(path- independent) 다중원자산옵션(multi-asset option)의 가치평가에도 적용할 수 있다. 그러나, 경로의존형(path- dependent) 옵션이나 원자산과정이 Markov성을 갖지 않는 경우에는 이 방법을 적용할 수 없다. 편미분방정식법은 Black & Scholes (1973)와 Merton (1973)에 의해서 제시되었다.

금융파생상품의 가치를 평가하는 고전적 방법은 복제, 헤지 그리고 무재정조건을 이용해서 편미분방정식을 유도하고, 그 편미분방정식의 해를 구하는 것이다. 그러나, 오늘날에는 금융파생상품의 가치과정을 마팅게일로 나타내는 방법이 널리 사용되고 있다. 이러한 마팅게일법은 Girsanov정리를 바탕으로 한다. Girsanov정리는 확률과정의 추세를 바꾸는 데 사용되는 강력한 무기로서, 금융공학뿐 아니라 확률해석(stochastic analysis)에서 매우 중요한 정리이다. Girsanov정리를 간단히 설명하면 다음과 같다. 비퇴화(nondegenerate) 확산계수를 갖는 Ito확산과정의 추세항을 변경해도, 이 확률과정의 확률측도는 크게 바뀌지 않는다. 이 경우에 새로운 확률과정의 확률측도는 원래 확률과정의 확률측도에 대해 절대연속(absolutely continuous)이다. 따라서, Radon-Nikodym밀도를 사용해서 이 새로운 확률측도를 구할 수 있다. Cameron & Martin (1944)이 처음 Girsanov정리를 제시하였고, 그 후 Girsanov (1960)가 이를 좀 더 체계적으로 발전시켰다. 이 절에서는 Girsanov정리를 직관적 이해하는 데 도움이 되는 요점추출법(importance sampling method)을 살펴보자.