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책 정보
· 제목 : Fourier Analysis--A Signal Processing Approach (Paperback, Softcover Repri)
· 분류 : 외국도서 > 컴퓨터 > 데이터 프로세싱
· ISBN : 9789811346651
· 쪽수 : 359쪽
· 출판일 : 2019-02-01
· 분류 : 외국도서 > 컴퓨터 > 데이터 프로세싱
· ISBN : 9789811346651
· 쪽수 : 359쪽
· 출판일 : 2019-02-01
목차
Contents
1 Signals 11
1.1 Basic Signals
1.1.1 Unit-impulse Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Unit-step Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Unit-ramp Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Sinusoids and Complex Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Classification of Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Continuous, Discrete, and Digital Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Periodic and Aperiodic Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Even- and Odd-symmetric Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Energy and Power Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5 Deterministic and Random Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.6 Causal and Noncausal Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Signal Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Time Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 The Discrete Fourier Transform 33
2.1 The Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 The Complex Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Euler’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Real Sinusoid in terms of Complex Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 The DFT and the IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 The DFT and the IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 The Criterion of Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 The Matrix form of the DFT and IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Fourier Boundary Descriptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Properties of the DFT 53
3.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Circular Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Circular Frequency Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Circular Time-reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Transform of Complex Conjuagtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Circular Convolution and Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8.1 Circular convolution of Time-domain Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7
3.8.2 Circular Convolution of Frequency-domain Sequences . . . . . . . . . . . . . 58
3.8.3 Circular Correlation of Time-domain Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.9 Sum and Difference of Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.10 Upsampling of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11 Zero Padding the Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.12 Symmetry Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.13 Parseval’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.14 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Two-Dimensional DFT 67
4.1 Two-Dimensional DFT as two 1-D DFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1 Computation of the 2-D DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 The 2-D DFT and IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 DFT Representation of Real-valued Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Properties of the 2-D DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Convolution and Correlation 89
5.1 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.1 Linear Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.2 Circular Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.3 2-D Linear Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 The Linear Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 Lowpass Filtering of Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.2 Highpass Filtering of Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3 Object Detection in Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.4 Orthogonal Frequency Division Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.5 Hilbert Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 Aliasing and Leakage 119
6.1 Aliasing Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Leakage Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.1 Modeling Data Truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.2 Tapered Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2.3 Hann and Hamming windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.4 Reducing the Spectral Leakage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 Picket-Fence Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7 Fourier Series 131
7.1 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.1.1 FS as the Limiting Case of the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.1.2 Gibbs Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2 Properties of the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2.2 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2.3 Time-shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2.4 Frequency-shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2.5 Convolution in the Time-domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2.6 Convolution in the Frequency-domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2.7 Time-scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2.8 Time-differentiation and Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8
7.2.9 Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3 Applications of the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3.1 Analysis of Rectified Power Supply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3.2 Steady-state Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.4 Numerical Evaluation of the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.4.1 Aliasing effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8 The Discrete-Time Fourier Transform 157
8.1 The DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.1.1 DTFT as the Limiting case of the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.1.2 The DTFT of a Discrete Periodic Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.1.3 Determination of the DFT from the DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.2 Properties of the Discrete-Time Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.2.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.2.2 Time-shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.2.3 Frequency-shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.2.4 Convolution in the Time-domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2.5 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2.6 Convolution in the Frequency-domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2.7 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2.8 Time-reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2.9 Time-expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2.10 Frequency-differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2.11 Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.2.12 Parseval’s theorem and the Energy Transfer Function . . . . . . . . . . . . . 172
8.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.3.1 Transfer Function and the System Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.3.2 Digital Filter Design using the DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3.3 Digital Differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.3.4 Hilbert Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4 Approximation of the Discrete-Time Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.4.1 Approximation of the inverse DTFT by the IDFT . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9 The Fourier Transform 181
9.1 The FT as a limiting case of the FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.1.1 Existence of the FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1.2 Determination of the FS from the FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.2 Properties of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.2.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.2.2 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.2.3 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.2.4 Time-shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2.5 Frequency-shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2.6 Convolution in the Time-domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.2.7 Convolution in the Frequency-domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.2.8 Conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.2.9 Cross-correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.2.10 Time-reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.2.11 Time-scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.2.12 Time-differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.2.13 Time-integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.2.14 Frequency-differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9
9.2.15 Parseval’s Theorem and the Energy Transfer Function . . . . . . . . . . . . . 196
9.3 Fourier Transform of Mixed Class of Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.3.1 The FT of a Continuous Periodic Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3.2 The FT of a Sampled Signal and the Aliasing Effect . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3.3 The FT of a Sampled Aperiodic Signal and the DTFT of the Corresponding
Discrete Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.3.4 The FT of a Sampled Periodic Signal and the DFT of the CorrespondingDiscrete Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.3.5 Reconstruction of the Continuous Signal from its Sampled Version . . . . . . 202
9.4 Applications of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.4.1 Transfer Function and the System Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.4.2 Ideal Filters and their Unrealizability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.5 Approximation of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10 Fast Computation of the DFT 209
10.1 Half-Wave Symmetry of Periodic Waveforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.2 The PM DIF DFT Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.3 The PM DIT DFT Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.3.1 Basics of the PM DIT DFT Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.4 Efficient Computation of the DFT of Real Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.4.1 Two DFTs of Real Data Simultaneously . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.4.2 DFT of a Single Real Data Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
A Transform Pairs and Properties 229
B Useful Mathematical Formulas 237
C Bibliography 239
D Solutions to selected problems 247
E Index
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