기초 수학

번역자의 말
서문

1장 기초 주제
1.1 산술
1.2 계산
1.3 대수
1.4 기하학
1.5 미적분학
1.6 조합론
1.7 확률
1.8 논리학
1.9 역사
1.10 철학

2장 산술
2.1 유클리드 알고리즘
2.2 연분수
2.3 소수
2.4 유한 산술
2.5 이차 정수
2.6 가우스 정수
2.7 오일러의 증명 되돌아보기
2.8 √2와 펠 방정식
2.9 역사
2.10 철학

3장 계산
3.1 숫자 표기법
3.2 덧셈
3.3 곱셈
3.4 나눗셈
3.5 거듭제곱
3.6 P-NP 문제
3.7 튜링 기계
3.8 해결불가능한 문제
3.9 범용 기계
3.10 역사
3.11 철학

4장 대수
4.1 고전 대수
4.2 환
4.3 체
4.4 역수와 연관된 두 정리
4.5 벡터 공간
4.6 일차 종속, 기저, 차원
4.7 다항식 환
4.8 대수적 수 체
4.9 벡터 공간으로서의 수 체
4.10 역사
4.11 철학

5장 기하
5.1 수와 기하학
5.2 각에 대한 유클리드의 이론
5.3 넓이에 대한 유클리드의 이론
5.4 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용한 작도
5.5 연산의 기하적 실현
5.6 작도의 대수적 실현
5.7 벡터 공간의 기하
5.8 내적을 이용하여 길이 정의하기
5.9 작도가능한 수의 체
5.10 역사
5.11 철학

6장 미적분
6.1 기하급수
6.2 접선과 미분
6.3 도함수 구하기
6.4 곡선으로 제한된 영역의 넓이
6.5 𝑦=𝑥𝑛 아래의 넓이
6.6 미적분학의 기본정리
6.7 로그함수를 거듭제곱급수로 표현하기
6.8 탄젠트함수의 역함수와 π
6.9 초등함수
6.10 역사
6.11 철학

7장 조합론
7.1 소수의 무한성
7.2 이항 계수와 페르마의 소정리
7.3 생성 함수
7.4 그래프 이론
7.5 트리
7.6 평면 그래프
7.7 오일러의 다면체 정리
7.8 비평면 그래프
7.9 쾨니히 무한 보조정리
7.10 슈페르너의 보조정리
7.11 역사
7.12 철학

8장 확률
8.1 확률과 조합
8.2 도박사의 파산
8.3 무작위 걷기
8.4 평균, 분산과 표준편차
8.5 벨 곡선
8.6 역사
8.7 철학

9장 논리
9.1 명제 논리
9.2 동어반복, 항등식, 해의 존재성
9.3 속성, 관계, 양화사
9.4 귀납법
9.5 페아노 산술
9.6 실수
9.7 무한
9.8 집합론
9.9 역수학
9.10 역사
9.11 철학

10장 고등 수학의 몇 가지 주제들
10.1 산술: 펠 방정식
10.2 계산: 낱말 문제
10.3 대수: 기본 정리
10.4 기하: 사영 직선
10.5 미적분학: π의 월리스 곱
10.6 조합론: 램지 이론
10.7 확률: 드 무아브르 분포
10.8 논리: 완전성 정리
10.9 역사와 철학

참고문헌
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이 책의 핵심 주제어는 기초(elementary) 수학과 고등(advanced) 수학이다. 여기서의 ‘기초 수학’을 쉬운 수학 또는 학제상 어릴 때 배우는 수학과 동일시해선 안 된다. 수학자들의 연구를 통해 수학이 발전하면서 여러 가지 수학적 개념과 논증법 사이에 ‘수준’의 차이가 있다는 것이 밝혀졌고, 이를 어느 정도 객관적으로 구분할 수 있게 되었다. 이 책에서는 현대 수학 체계의 바탕에 기반을 형성하는 내용을 기초 수학이라고 부른다. 그리고 기초 수학의 내용을 설명하고, 그 범위가 어디까지인지, 고등 수학과의 경계선을 어디쯤 놓아야 할지를 탐색한다.
— 번역자의 말

이 책의 목표는 ‘기초적’이라는 말이 무슨 뜻인지 설명하는 것이다. 달리 말하면, 왜 수학의 어떤 논의가 다른 것에 비해 ‘더 기초적’으로 보이는지 그 이유를 설명하는 것이다. 기초적이라는 개념은 수학이 발전함에 따라 계속 변화해왔다고 보는 것이 타당하다. 실제로 오늘날 기초 수학의 일부로 여기는 어떤 주제는 그 동안의 엄청난 발전이 그 주제를 기초적으로 만들었기 때문에 그렇게 된 것이다. (…) 이 책이 수학의 기초에 관심이 있는 예비 수학도와 교사, 수학자에게 흥미로운 책이 되기를 바란다. 대학을 준비하는 학생들은 이 책을 통해, 미리 알아두면 유용한 것들에 대해 조망하면서 앞으로 마주치게 될 주제들을 흘낏 일별할 수 있다. 대학에서 강의하는 수학자들에게 이 책은, 학생들이 알기를 바라지만 실은 우리 자신도 썩 잘 알지 못하는 주제에 대한 보충의 기회가 될 수 있겠다.
— 서문