보이스의 미분방정식

이 책의 대상자는 과학, 기술, 공학, 수학 전공자를 주 대상으로 하여 1-2학년 동안 미분방정식을 수강하는 학생들이다. 이 과목의 필수 선수과목은 통상 2학기 또는 3학기 분량의 대학 미적분 과정이고 행렬에 대한 기초지식도 도움이 된다.

저자 머리말

이번 개정판을 준비하면서 우리의 최우선 과제는 기존 판에서의 강점을 유지하고 향상시키는 것이다. 특히, 다양한 수준의 응용수학자들이 사용하는 관점을 채택하여, 상당히 이론적이면서도 실용적인 내용을 구성하였다. 본 교재에서는 해를 구하는 방법과 해 자체, 그리고 근사해들에 대하여 다루었고 이들에 접근하는 데 있어 실질적으로 정확하고 완전함을 꾀하면서도 지나치게 추상적이지 않게끔 노력하였다. 이 책의 대상자는 과학, 기술, 공학, 수학 전공자를 주 대상으로 하여 1-2학년 동안 미분방정식을 수강하는 학생들이다. 이 과목의 필수 선수과목은 통상 2학기 또는 3학기 분량의 대학 미적분 과정이고 행렬에 대한 기초지식도 도움이 된다. 이 책에서는 미분방정식 시스템을 다루는 장들을 포함하여 선형대수에 대한 기본 지식들을 요약 제공한다.

이 책의 강점 중 하나는 다양한 교수 스타일을 수용할 수 있는 유연성을 제공한다는 점이다. 주제의 선택과 순서에 있어서 융통성을 부여하며 기술적인 접근 방식의 사용도 유연하게 허용한다. 필수 핵심 내용은 1장, 2.1-2.5, 3.1-3.5이다. 이 필수 내용을 완료한 후에는 강사의 재량에 따라 주제를 선택할 수 있다. 4장부터 11장까지의 내용의 대부분 독립적이지만 9장 전에는 6장을, 11장 전에는 10장을 수강하는 것이 좋다. 미분방정식의 매력적인 측면 중 하나는 가장 단순한 형태조차도 현실 세계의 물리적 현상과 직접적으로 연결된다는 점이다. 예를 들어 지수적 성장과 감소, 스프링-질량 시스템, 전기 회로, 경쟁 시스템, 감염병, 파동 전파 등이 있다. 복잡한 자연현상도 단순한 모델을 쌓아 올려 점 점 더 정교하게 이해할 수 있다. 이 모델을 설명하는 미분방정식과 그 해법은 명시적 해 또는 내용적 해석(qualitative properties)일 수 있으며 현실적인 모델을 분석하는 데 필수적이다. 이 모델링 과정은 1장과 2.3절에서 자세히 다룬다. 또한 엄밀한 해법적 접근은 2.5, 3.7, 9.4, 9.5, 부록 A와 B, 10장에서도 다룬다. 이 책 전체에 걸쳐 다양한 실제 기반의 문제들을 제시하며, 그중 다수는 차분방정식이나 그래프, 수치적 해법 등을 필요로 한다. 이 책에서 강조하는 또 하나의 중요한 개념은 이식성(transposability)이다. 즉, 특정 미분 방정식을 통해 어떤 응용을 명확하게 보일 수 있다면, 그 문제 자체는 그 방법은 다른 응용 상황에도 적용할 수 있다는 뜻이다.

학생들의 관점에서 이 책의 가장 두드러진 특징은 다양한 문제 유형과 범위이다. 많은 문제가 간단하지만 일부는 도전적이고 어떤 문제는 열린 형식으로 되어 있어 학생 개인 프로젝트의 주제가 될 수도 있다. 1,600개가 넘는 문제들이 포함되어 있으며 이는 어떤 강좌보다 더 많은 양이다. 책 끝에는 거의 모든 문제의 답이 주어져 있으며 풀이 전체는 Instructor’s Solution Manuel에 제공된다. 기계의 사용은 강사의 재량에 따라 최소 또는 최대한 사용할 수 있게 하였다. 예를 들어 공학용 계산기 웹기반 자원, 과학계산 시스템, 프로그래밍 언어들이 이에 해당된다.

기호로 표시된 문제는 그래픽 도구로 해결하는 것이 바람직하고 기호로 표시된 문제는 수치적 방법으로 해결하기를 권장한다. 강사들은 학생의 기계 사용 능력과 학교 정책 등을 고려하여 적절히 판단할 수 있다. 연필과 종이의 사용 방법은 기호적 또는 그래픽 도구로 풀거나 분석하는 것이 가장 적합한 모델을 개발하는 데에 사용된다. 컴퓨터 기반 자원으로 자주 생성되는 정량적 결과와 그래프는 복잡한 해의 명시적 공식을 통해서는 쉽게 드러나지 않는 결론을 설명하고 명확히 하는 데 도움을 준다. 반대로 근사해를 구하는 효율적인 수치적 방법을 적용하려면 보통은 사전 분석이 많이 필요로 된다. 이를 통해 해의 질적 특징을 파악하여 계산의 지침으로 삼거나 극한 또는 특수한 경우를 조사하거나 변수나 매개변수의 범위를 발견해 해석적 방법과 수치적 방법을 적절히 조합해야 할 필요가 있다. 각 경우에 적합한 해법을 선택하기에 적절한 판단이 필요하기도 하다. 이런 맥락에서 “스케치”를 요청하는 문제는 일반적으로 필기도구를 사용하는 외에는 다른 도구를 사용하지 말기를 권한다.

나는 학생들이 미분방정식을 푼다는 것의 목표가 단지 해를 구하는 데에만 있지 않다는 것을 알기 바란다. 오히려 방정식이 모델링되는 과정에 대해 더 이해하기 바란다. 다시 말해 해를 구하는 것 자체만이 목적은 아니라는 것이다. 그래서 본문에는 해에 대한 결론을 도출해야 하는 문제들을 많이 포함했고 몇몇 예제도 포함했다. 때로는 이것이 특정 성질을 가질 독립변수를 찾는 것이나 해의 장기적 거동을 결정하는 것의 형태를 갖는다. 다른 문제는 매개변수가 변할 때의 효과를 묻거나 해가 큰 변화를 갖게 되는 매개변수의 모든 값을 결정하라는 문제일 수도 있다. 이런 문제들은 물리적 미분방정식의 응용에서 흔히 발생하며 강의 목표에 따라 강사는 이러한 문제들을 원하는 양만큼만 부여할 수 있다.

이번 판을 접한 독자들은 책의 전반적인 구조가 이전 판들과 같음을 알 수 있을 것이다. 이번 판에서의 소규모 개정들은 주로 이전 판의 독자들의 제안을 반영한 것이다. 여기에 몇 가지 새로운 주제의 추가, 일부 장에서의 기존 개념에 대한 심화 설명, 그리고 특수 함수에 대한 새 부록이 포함되었다. 이러한 개정의 목표는 미분방정식과 그 응용에 대한 기본 내용을 보다 명확하고 읽기 쉽게 하기 위함이고, 업데이트된 디자인은 탐색이 쉽고 학생 친화적인 참고 서적을 제공하기 위함이다

William E. Boyce, Douglas B. Meade