Grundwissen Mathematikstudium - Analysis Und Lineare Algebra Mit Querverbindungen: Analysis Und Lineare Algebra Mit Querverbindungen (Hardcover, 2, 2. Aufl. 2022)

Vorwort.- 1 Was ist Mathematik und was tun Mathematiker?- 2 Logik, Mengen, Abbildungen ? die Sprache der Mathematik.- 2.1 Junktoren und Quantoren.- 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.- 2.3 Abbildungen.- 2.4 Relationen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 3 Algebraische Strukturen ? ein Blick hinter die Rechenregeln.- 3.1 Gruppen.- 3.2 Homomorphismen.- 3.3 Korper.- 3.4 Ringe.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 4 Zahlbereiche ? Basis nicht nur der Analysis.- 4.1 Reelle Zahlen.- 4.2 Korperaxiome fur die reellen Zahlen.- 4.3 Anordnungsaxiome fur die reellen Zahlen.- 4.4 Ein Vollstandigkeitsaxiom fur die reellen Zahlen.- 4.5 Naturliche Zahlen und vollstandige Induktion.- 4.6 Ganze Zahlen und rationale Zahlen.- 4.7 Komplexe Zahlen: Ihre Arithmetik und Geometrie.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 5 Lineare Gleichungssysteme ? ein Tor zur linearen Algebra.- 5.1 Erste Losungsversuche.- 5.2 Das Losungsverfahren von Gauß und Jordan.- 5.3 Das Losungskriterium und die Struktur der Losung.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 6 Vektorraume ? von Basen und Dimensionen.- 6.1 Der Vektorraumbegriff.- 6.2 Beispiele von Vektorraumen.- 6.3 Untervektorraume.- 6.4 Basis und Dimension.- 6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorraumen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 7 Analytische Geometrie ? Rechnen statt Zeichnen.- 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum.- 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum.- 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum.- 7.4 Abstande zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.- 7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 8 Folgen ? der Weg ins Unendliche.- 8.1 Der Begriff einer Folge.- 8.2 Konvergenz.- 8.3 Haufungspunkte und Cauchy-Folgen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 9 Funktionen und Stetigkeit ? ε trifft auf δ.- 9.1 Grundlegendes zu Funktionen.- 9.2 Beschrankte und monotone Funktionen.- 9.3 Grenzwerte fur Funktionen und die Stetigkeit.- 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen.- 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 10 Reihen ? Summieren bis zum Letzten.- 10.1 Motivation und Definition.- 10.2 Kriterien fur Konvergenz.- 10.3 Absolute Konvergenz.- 10.4 Kriterien fur absolute Konvergenz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 11 Potenzreihen ? Alleskonner unter den Funktionen.- 11.1 Definition und Grundlagen.- 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen.- 11.3 Die Exponentialfunktion.- 11.4 Trigonometrische Funktionen.- 11.5 Der Logarithmus.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 12 Lineare Abbildungen und Matrizen ? Brucken zwischen Vektorraumen.- 12.1 Definition und Beispiele.- 12.2 Verknupfungen von linearen Abbildungen.- 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel.- 12.4 Darstellungsmatrizen.- 12.5 Das Produkt von Matrizen.- 12.6 Das Invertieren von Matrizen.- 12.7 Elementarmatrizen.- 12.8 Basistransformation.- 12.9 Der Dualraum.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- <13 Determinanten ? Kenngroßen von Matrizen.- 13.1 Die Definition der Determinante.- 13.2 Determinanten von Endomorphismen.- 13.3 Berechnung der Determinante.- 13.4 Anwendungen der Determinante.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 14 Normalformen ? Diagonalisieren und Triangulieren.- 14.1 Diagonalisierbarkeit.- 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit.- 14.5 Die Exponentialfunktion fur Matrizen.- 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen.- 14.7 Die Jordan-Normalform.- 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 15 Differenzialrechnung ? die Linearisierung von Funktionen.- 15.1 Die Ableitung.- 15.2 Differenziationsregeln.- 15.3 Der Mittelwertsatz.- 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen.- 15.5 Taylorreihen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 16 Integrale ? von lokal zu global.- 16.1 Integration von Treppenfunktionen.- 16.2 Das Lebesgue-Integral.- 16.3 Stammfunktionen.- 16.4 Integrationstechniken.- 16.5 Integration uber unbeschrankte Intervalle oder Funktionen.- 16.6 Parameterabhangige Integrale.- 16.7 Weitere Integrationsbegriffe.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 17 Euklidische und unitare Vektorraume ? orthogonales Diagonalisieren.- 17.1 Euklidische Vektorraume.- 17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalitat.- 17.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente.- 17.4 Unitare Vektorraume.- 17.5 Orthogonale und unitare Endomorphismen.- 17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen.- 17.7 Normale Endomorphismen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 18 Quadriken ? vielseitig nutzbare Punktmengen.- 18.1 Symmetrische Bilinearformen.- 18.2 Hermitesche Sesquilinearformen.- 18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation.- 18.4 Die Singularwertzerlegung.- 18.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 19 Funktionenraume ? Analysis und lineare Algebra Hand in Hand.- 19.1 Metrische Raume und ihre Topologie, normierte Raume.- 19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Raumen.- 19.3 Kompaktheit.- 19.4 Zusammenhangsbegriffe.- 19.5 Vollstandigkeit.- 19.6 Banach- und Hilbertraume.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 20 Differenzialgleichungen ? Funktionen sind gesucht.- 20.1 Begriffsbildungen.- 20.2 Elementare analytische Techniken.- 20.3 Existenz und Eindeutigkeit.- 20.4 Grundlegende numerische Verfahren.- Zusammenfassung.- Aufgaben .- 21 Funktionen mehrerer Variablen ? Differenzieren im Raum.- 21.1 Einfuhrung.- 21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe: Totale und partielle Differenzierbarkeit.- 21.3 Differenziationsregeln.- 21.4 Mittelwertsatze und Schranksatze.- 21.5 Hohere partielle Ableitungen und der der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz.- 21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema.- 21.7 Der Lokale Umkehrsatz.- 21.8 Der Satz uber implizite Funktionen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 22 Gebietsintegrale ? das Ausmessen von Mengen.- 22.1 Definition und Eigenschaften.- 22.2 Die Berechnung von Integralen.- 22.3 Die Transformationsformel.- 22.4 Wichtige Koordinatensysteme.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 23 Vektoranalysis ? im Zentrum steht der Gauß'sche Satz.- 23.1 Kurven und Kurvenintegrale.- 23.2 Flachen und Flachenintegrale.- 23.3 Der Gauß’sche Satz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 24 Optimierung ? ein sehr generelles Problem.- 24.1 Lineare Optimierung.- 24.2 Das Simplex-Verfahren.- 24.3 Dualitatstheorie.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 25 Elementare Zahlentheorie ? Teiler und Vielfache.- 25.1 Teilbarkeit.- 25.2 Der euklidische Algorithmus.- 25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik.- 25.4 ggT und kgV.- 25.5 Zahlentheoretische Funktionen.- 25.6 Rechnen mit Kongruenzen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 26 Elemente der diskreten Mathematik ? die Kunst des Zahlens.- 26.1 Einfuhrung in die Graphentheorie.- 26.2 Einfuhrung in die Kombinatorik.- 26.3 Erzeugende Funktionen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- Hinweise zu den Aufgaben.- Losungen zu den Aufgaben.- Symbolglossar.- Index.