수학의 세계

가. I. 초기의 수학

1. 메소포타미아와 이집트의 수학
고대의 수학
메소포타미아의 수학
이집트의 수학

2. 그리스의 수학
논증수학의 탄생과 탈레스
피타고라스 학파
엘레아 학파와 제논
소피스트들과 3대 작도불능문제
플라톤 학파

3. 알렉산드리아 시대의 수학
알렉산드리아의 도서관
유클리드
아르키메데스
알렉산드리아 후기

4. 인도와 아랍의 수학
기수법
고대 인도의 수학
아랍의 수학

나. Ⅱ. 수와 대수학

1. 서유럽에서의 초기수학
로마 시대의 수학
중세 유럽의 수학
기호의 정비

2. 근의 공식
1차, 2차방정식의 풀이
3차방정식의 풀이
4차방정식의 풀이

3. 대수학의 발전
초기의 대수학
16세기의 대수학
17, 18세기의 대수학
가우스
19세기의 대수학
아벨
갈르와
정수론의 발전
암호론에의 응용

4. 수의 체계
실수의 체계
유리수에서 실수로의 확장 ― 데데킨트의 방법
유리수에서 실수로의 확장 ― 칸토르의 방법
현대수학에서의 실수의 집합
복소수의 체계

5. 벡터와 행렬
복소수, 벡터, 선형대수학
벡터
해밀턴의 4원수
행렬

6. 대수계
연산을 가진 집합
식의 집합
군(群)
환(環)
체(體)
벡터공간
속(束)
대수적 동형

다. Ⅲ. 도형과 기하학

1. 기하학과 작도
기하학의 역사
작도
작도가능인 수
정다각형의 작도
그리스 시대의 3대문제
그 뒤의 작도문제
3대문제가 불가능인 이유

2. 원뿔곡선
원뿔곡선의 역사
세 가지 원뿔곡선의 성질
원뿔곡선의 응용
물리학에서의 원뿔곡선

3. 평행선공리
평행선공리
사케리의 연구
로바쳅스키－보요이의 기하학
리이만의 기하학

4. 해석기하학
해석기하학의 발견
페르마와 해석기하학
페르마
데카르트와 해석기하학
2차곡선

5. 사영기하학
투시법과 사영기하학
사영기하학의 역사
군과 기하학

6. 위상수학
위상수학이란?
위상수학의 역사
위상적 성질
위상공간
거리공간

라. Ⅳ. 함수와 해석학

1. 삼각함수
삼각법
그리스의 삼각법
고대 인도의 삼각법
아랍과 페르시아의 삼각법
유럽에서의 발전
구면삼각법
sin과 cos의 전개공식
원주율 π의 계산

2. 로그함수
로그수의 발견
네이피어
네이피어의 로그수
그 뒤의 발전

3. 미적분학의 발견
미적분학의 기원
제논의 역리의 영향
그리스의 구적법
서유럽의 구적법
접선법
뉴턴과 라이프니츠의 등장
뉴턴의 업적
라이프니츠의 업적

4. 함수의 개념
교과서에 나타나는 함수의 개념
함수 개념의 기원
19세기 이후의 함수의 개념
함수의 현대적인 정의
함수의 정의에 관한 주의
초등함수의 분류

5. 극한과 연속
극한과 연속의 기초
실수의 위상적 구조
실변수의 실함수의 극한과 연속성
연속함수의 현대수학에서의 역할

6. 해석학의 전개
해석학의 역사
급수와 함수의 전개
푸리에급수, 리이만적분, 칸토르의 집합론
물리현상과 미분방정식
함수공간

마. Ⅴ. 집합과 수학의 기초

1. 집합
집합론의 시작
기수
서수
집합론의 역리
선출공리
공리적 집합론
칸토르

2. 논리
명제와 논리식
진리값
항진명제와 동치명제
명제함수
한정기호
추론규칙
힐버트와 아커만의 공리계
수리논리학의 역사

3. 수학의 형식화
현대수학의 기본 성격
수학의 방법―공리주의
공리주의의 회고
자연수의 공리계
수학의 형식화

4. 수학의 기초
수학의 본질에 관한 견해
논리주의
직관주의
형식주의
현대수학의 재조직
수학의 응용가능성

부록: 20세기 수학의 몇 이야기
1900 년 힐버트의 문제들
1902 년 럿셀의 역리
1905 년 아인슈타인의 상대성원리
1912 년 브라우워의 부동점 정리
1920 년 라마누잔의 업적
1924 년 바나카-타르스키 정리
1924 년 필즈 메달
1928 년 폰 노이만의 극소극대 Minimax 정리
1931 년 괴델의 불완전성 정리
1936 년 튜링의 계산기계
1940 년대 이후 전시, 전후의 수학
1960 년 비표준 해석학
1967 년 프랙탈 기하학
1976 년 네 색 Four Color 문제
1981 년 유한단순군의 분류
1984 년 대수방정식의 풀이
1984 년 존스의 매듭이론
1995 년 페르마의 마지막 정리
1996 년 에르되쉬의 업적
1997-99 년 큰 소수들의 발견
1998 년 케플러의 예상 (구쌓기 문제)
2000 년 새 천년의 현상 문제들
아벨 상 (Abel Prize)

참고문헌
찾아보기
'대학교양총서'발간에 즈음하여