오차 분석 입문

옮긴이의 말 … v
제2판 머리말 … viii
제1판 머리말 … xii

Part I

제1장 오차 분석에 대한 예비 서술 … 3
1.1 “오차” 대 “불확실성” … 3
1.2 불확실성의 불가피성 … 5
1.3 불확실성을 아는 것의 중요함 … 7
1.4 더 많은 예 … 9
1.5 눈금을 읽을 때 불확실성을 추정하기 … 12
1.6 반복할 수 있는 측정에서 불확실성을 추정하기 … 15

제2장 불확실성의 보고 방법과 사용 방법 … 19
2.1 최량의 추정값±불확실성 … 20
2.2 유효 숫자 … 22
2.3 불일치 … 25
2.4 측정된 값을 공인된 값과 비교하기 … 28
2.5 두 개의 측정된 수를 비교하기 … 31
2.6 그래프로 관계를 검사하기 … 37
2.7 비율 불확실성 … 42
2.8 유효 숫자와 비율 불확실성 … 45
2.9 측정된 두 수를 곱하기 … 47

제3장 불확실성의 전파 … 67
3.1 직접 측정에서의 불확실성 … 69
3.2 셈 실험에 대한 제곱근 규칙 … 72
3.3 합과 차; 곱과 몫 … 74
3.4 두 가지 중요한 특수 사례 … 82
3.5 합에서의 독립 불확실성 … 87
3.6 독립 불확실성에 대하여 계속 … 92
3.7 단일 변수에 대한 임의의 함수 … 96
3.8 단계적 전파 … 102
3.9 예 … 105
3.10 더 복잡한 예 … 109
3.11 오차 전파에 관한 일반 공식 … 113

제4장 랜덤 불확실성의 통계적 분석 … 145
4.1 랜덤 오차와 계통 오차 … 147
4.2 평균과 표준 편차 … 151
4.3 단일 측정값의 불확실성으로서 표준 편차 … 158
4.4 평균의 표준 편차 … 160
4.5 예 … 162
4.6 계통 오차 … 166

제5장 정규 분포 … 191
5.1 히스토그램과 분포 … 192
5.2 극한 분포 … 198
5.3 정규 분포 … 204
5.4 68% 믿음 한계로서 표준 편차 … 212
5.5 최량의 추정값으로서 평균의 정당화 … 215
5.6 제곱하여 더하기의 정당화 … 222
5.7 평균의 표준 편차 … 230
5.8 측정된 답의 받아들여짐 … 233

Part 2

제6장 데이터의 기각 … 257
6.1 데이터를 기각하는 문제 … 257
6.2 쇼브네트의 판정기준 … 259
6.3 토론 … 264

제7장 가중 평균 … 271
7.1 별도로 측정된 값들을 결합하는 문제 … 271
7.2 가중 평균 … 273
7.3 예 … 277

제8장 최소제곱 맞추기 … 283
8.1 한 직선에 맞아야 하는 데이터 … 283
8.2 상수  와  의 계산 … 286
8.3 에 대한 측정값에서의 불확실성 … 292
8.4 상수  와  의 불확실성 … 294
8.5 예 … 298
8.6 다른 곡선들에 최소제곱 맞추기 … 302

제9장 공분산과 상관관계 … 327
9.1 오차 전파의 복습 … 327
9.2 오차 전파에서 공분산 … 330
9.3 선형 상관 계수 … 338
9.4 상관 계수 의 정량적 유의성 … 343
9.5 예 … 346

제10장 이항 분포 … 357
10.1 분포 … 357
10.2 주사위 던지기에서의 확률 … 358
10.3 이항 분포의 정의 … 360
10.4 이항 분포의 성질 … 364
10.5 랜덤 오차에 대한 가우스 분포 … 369
10.6 응용 가설 검정 … 371

제11장 푸아송 분포 … 385
11.1 푸아송 분포의 정의 … 386
11.2 푸아송 분포의 성질 … 391
11.3 응용 … 396
11.4 배경을 감하기 … 399

제12장 분포에 대한 카이제곱 검정 … 411
12.1 카이제곱에 대한 소개 … 412
12.2 카이제곱의 일반 정의 … 418
12.3 자유도와 축소 카이제곱 … 423
12.4 카이제곱에 대한 확률 … 428
12.5 예 … 433

참고문헌 … 451
부록 … 453
즉시 점검 문제와 홀수 번호 연습문제에 대한 해답 … 475
찾아보기 … 505
국문-영문 용어 대비 표 … 511

교과 실험에서는 이전에 여러 번 정밀하게 측정되었으며 이미 정확한 공인된 값이 알려져 있고 또 발표된 적이 있는, 예를 들면 전자의 전하 또는 보편 기체 상수 등과 같은 물리량을 학생들로 하여금 다시 측정하게 할 수 있다. 이 공인된 값조차도 적확한 값은 물론 아니고 이 값도 측정의 결과로 얻어진 것이며 따라서 다른 모든 측정값과 마찬가지로 약간의 불확실성을 가지고 있다. 그렇지만 많은 경우에 공인된 값은 학생들이 스스로 측정해서 달성할 수 있는 값보다 훨씬 정확하다. 예를 들면 현재 공인된 보편 기체 상수의 값은

(공인된 R 의 값) = 8.31451 ± 0.00007 J/(mol⋅K)  (2.11)

이다. 예상한 대로 이 값도 불확실하다. 그러나 대부분의 교과 실험의 기준에서 본다면 그 불확실성은 극도로 작다. 따라서 학생들이 이런 상수를 측정한 값을 공인된 값과 비교할 때는 일반적으로 공인된 값을 적확한 값이라고 간주해도 된다.

반복 측정에 의해서 드러나는 실험적 불확실성은 랜덤 오차라고 명명하고 이러한 방식에 의해서 드러나지 않는 불확실성은 계통 오차라고 일컫는다. 이러한 구별을 설명하기 위해 몇 가지 예를 검토해보자. 먼저 안정적으로 회전하는 턴테이블이 한 번 회전하는 데 걸리는 시간을 잰다고 가정하자. 오차의
원천들 중의 하나는 시계를 작동시키고 정지시키는 데에 걸리는 우리의 반응 시간이다. 만약 우리의 반응 시간이 늘 똑같다면 두 가지 지연 시간은 서로 상쇄할 것이다. 그렇지만 실제로는 우리의 반응 시간은 변동할 것이다. 우리는 시작할 때 더 지체할 수 있을 것이고 이렇게 되면 1회전에 걸리는 시간을 과소평가하게 될 것이다. 반면에 정지시킬 때 더 지체할 수 있을 것이고 그럴 때는 1회전에 걸리는 시간을 과대평가하게 될 것이다. 두 가지에 대한 가능성이 동등하게 있을 법하기 때문에 지체 효과의 부호는 랜덤할 것이다. 만약 이 실험을 여러 번 반복한다면 우리는 때로는 과대평가할 것이고 때로는 과소평가할 것이다. 그리하여 변동하는 반응 시간은 구해지는 답에서의 변동성으로 나타나게 될 것이다. 결과의 퍼짐을 통계적으로 분석하면 이러한 종류의 오차에 대해서 매우 신뢰성 높은 추정값을 얻을 수 있을 것이다.

5장에서 분포의 개념을 도입했는데 분포란 반복된 측정이 여러 가능한 답의 각각을 산출해주는 횟수의 비율을 서술하는 함수이다. 예를 들어 흔들이의 주기T를N번 측정하고 나서 T에 대한 측정된 여러 값의 분포를 알아낼 수 있고, 혹은 N명의 미국인의 키 h를 측정하고 나서 측정된 여러 가지 키의 높이 h의 분포를 구할 수 있다. 다음으로 나는 측정의 수 N이 아주 크게 되는 극한에서 얻어지는 분포인 극한 분포의 개념을 도입했다. 극한 분포란 한 번 측정할 때 가능한 값들 중에서 어떤 특정한 값이 얻어질 확률을 우리에게 가르쳐주는 것으로 간주할 수 있다. 예를 들어 한 번 측정으로 특정한 값 T가 얻어질 확률을 또는 (랜덤하게 선정된) 한 미국인의 키가 특정한 높이 h일 확률을 우리에게 알려주는 것으로 간주할 수 있다. 이러한 이유 때문에 극한 분포란 때로는 확률 분포라고 불린다.