해양 유체 역학

제1장 유체의 물리적 성질 15
제2장 벡터와 텐서 37
제3장 유체 정역학 71
제4장 유체 운동학 93
제5장 연속방정식 115
제6장 유체의 관성력 129
제7장 유체에 작용하는 힘 141
제8장 유체의 운동방정식 161
제9장 난류와 확산 181
제10장 베르누이 방정식 205
제11장 상사법칙과 차원해석 221
참고문헌 244

제1장 유체의 물리적 성질

1. 유체성(fluidity)

1-1. 고체(solid), 액체(liquid) 및 기체(gas)
1) 유체(fluid)
유체와 고체의 차이, 혹은 이들의 기본적 개념은 일상생활의 경험에서 잘 알고 있다. 유체는 기체와 액체를 모두 포함하는 말인데, 유체의 특성은 어떤 점이 있는지 살펴보자. 유체를 정의하는 데는 여러 가지 방법이 가능하다. 유체가 고체와 구분되는 가장 뚜렷한 특징은 유체의 경우, 그 모양이 담고 있는 용기에 따라서 달라진다는 점이다.

변형성(deformability)
유체성이란 변형성과 거의 동일어로 쓰이고 있다. 이런 변형성의 관점을 달리 표현하면, 유체란 미소한 크기의 전단응력(shear stress)에 대하여 ‘연속적’으로 변형하는 물질이라고 정의 할 수 있다. 유체를 변형성이라는 측면에서 이해 할 경우, 대기나 해수는 유체임이 분명하나, 엿, 젤리(jelly), 페인트 등의 경우 변형성에 의한 구분이 뚜렷하지 않다(그림 1.1). 그러나 이러한 점에 대해서는 이 책에서 우리가 다룰 유체가 기상학이나 해양학에서 다루는 유체인 공기 또는 물이므로 별로 문제 삼지 않기로 한다.

그림 1.1 변형하는 물질로서의 엿, 젤리, 페인트

지구유체역학(geophysical fluid dynamics)의 한 분야인 조산학(rheology), 지각 판모형설(plate tectonics), 해저팽창설(sea floor spreading) 등을 다룰 경우 맨틀(mantle)의 대류(con- vection) 현상을 고려하게 되는데, 이 경우 맨틀은 점성이 아주 큰 유체로 고려된다. 하지만 맨틀은 지진파의 P파(primary wave, 종파; 종파는 파의 진행방향과 매질 진동방향이 같은 파로 고체, 액체, 기체상태의 물질을 통과하며, 지구 내부의 모든 부분을 통과한다) 와 S파(secondary wave, 횡파; 횡파는 파의 진행방향과 매질 진동방향이 수직인 파로 고체상태의 물질만 통과한다. 지구 내부의 외핵, 내핵은 통과하지 못한다)를 모두 통과시키는 점에서 보면 유체라 보기는 어렵다. 아마 수 백 만년 정도의 지질학적 시간스케일의 경우에는 유체처럼 행동하고, 지진파 통과 정도의 짧은 시간스케일의 경우에는 고체적인 성격을 띠고 있는 것으로 이해된다(그림 1.2). 지구유체역학에서 다루는 문제는 주로 대기와 해양의 유체운동에 대한 것이지만, 광의의 지구유체역학에서는 지구내부 운동까지 포함하고 있다. 그러나 이 책이 주로 다룰 유체는 대기와 해양운동을 이해하기 위한 유체에 국한된다.

그림 1.2 지진파의 종류

2) 기체와 액체
기체와 액체를 포함해 유체라 부른다.

압축성(compressibility)
기체와 액체와의 차이는 압축성에서 가장 두드러지게 나타난다. 경험으로 잘 알고 있듯이, 밀폐된 용기에 담겨있는 물은 아래 부분에 모이지만, 기체의 경우는 용기 전체에 차게 된다(그림 1.3). 물론, 물의 경우도 압축성이 전혀 없는 것은 아니나, 공기에 비하면 압축성의 정도는 무시할 정도로 작다. 경험상 기체와 액체의 차이는 밀도(density)의 차이로 볼 수 있다. 그러나 밀도의 크기로 기체와 액체를 구분하는 것은 액체와 기체를 구분하는 뚜렷한 정의로는 부적당하다. 왜냐하면 밀도로 구분하게 되면 물질의 운동 상태가 아니라 운동(혹은 가속)에 필요한 힘의 차이로 구분된다는 점에서 정확하지 않다.

그림 1.3 액체(a)와 기체(b)에서의 압축성 차이

이와 같이 고체, 액체, 기체는 물질의 성질, 좀 더 엄밀히 말해 물질의 운동 상태 차이에서 구분되는 것이지, 물질의 종류에 따라서 구분하는 것은 아니다. 그 예로 물의 경우 라는 분자의 결합상태는 얼음(고체), 물(액체), 수증기(기체)의 형태가 되어, 운동 상태에 따라 상(state)이 바뀐다(그림 1.4).

그림 1.4 물의 형태변화와 분자결합상태

유체역학(fluid mechanics)은 유체의 운동에 대한 역학적인 기술을 하는 학문이다. 대상으로 삼고 있는 유체가 물이나 액체일 경우 hydrodynamics라 하고, 기체나 공기일 경우 aerodynamics라 분리해서 부르기도 한다.

1-2. 연속체로서의 유체(연속성 가설(continuum hypothesis))
모든 유체는 무한한 수의 분자로 구성되어 있으며 유체역학에서는 이러한 분자들의 평균적 또는 거시적 효과에 관심을 둔다. 따라서 유체를 무한히 쪼갤 수 있는 물질 즉, 하나의 연속된 ‘동질적 질량체’로 간주하여 분자 개개의 움직임에는 관심을 두지 않고 전체 유체분자운동에 의해 일어나는 현상의 평균을 거시적으로 다루는 연속체로 취급한다. 그러므로 각 유체의 성질은 공간 내 각 지점에서 일정한 값을 갖는다고 가정한다. 이것이 ‘연속성 가설’이다. 따라서 밀도, 온도, 속도와 같은 유체의 성질들은 위치와 시간에 대한 연속함수가 된다.

1) 한 지점에서의 밀도
유체역학에서 기본적으로 전제하고 있는 ‘연속성 가설’의 개념을 밀도의 정의를 예로 들어
보자. 밀도 는 단위 체적 당 유체의 질량으로 정의되며, 따라서 일정 체적 내 평균밀도는
이다. 여기서 은 질량, 는 체적을 나타낸다. 그런데, 일반적으로 유체성질이 공간

그림 1.5 유체 공간 내 평균밀도와 한 점 에서의 밀도

상 모두 같을 경우엔 단위질량에 대해 일정체적을 가령 나, 혹은 로 생각해도 무방하
나, 유체밀도가 공간상 서로 같지 않을 경우, 유체의 밀도는 평균밀도()와 그림 1.5 상
의 한 점 에서의 밀도는 서로 같지 않다.
유체 내 한 점 에서의 밀도를 구하기 위해 미소체적 와 미소질량 을 택하여 미소질량과 미소체적 비율을 로 놓고, 체적이 연속적으로 줄어든다고 가정하자. 를 처음에 큰 값으로 가정하면 의 변화는 그림 1.6과 같다.

그림 1.6 체적변화에 따른 밀도변화와 연속체의 밀도

체적이 연속적으로 줄어든다고 가정했으므로, 밀도가 변동하지 않고 연속적으로 감소하는 지점 즉, 그림 1.6의 점선 우측을 체적의 하한선으로 보면 연속체 정의에 합당하다. 따라서 점에서의 평균밀도는 점 주변이 균일유체로 둘러싸여 체적이 점차 줄어들 때, 점근선에 가깝게 된다. 하한이 되는 지점 는 어떤 한 지점의 유체 밀도를 정의하는데 유용한 값이다.

연속체의 밀도를 계산할 때는 체적을 최소화한 지점 부터 생각한다. 만약 를 거의 무한소인 ‘0’ 에 접근시킨다면

이라 가정할 수 있다.

2) 유체역학의 무한소(infinitesimal)개념
(1.2) 식과 같이 체적을 수학적으로 무한히 작은 극한소로 갈 경우를 쉽게 정의할 수 있지만, 물리적인 상황에서는 문제가 간단하지 않다. 예를 들어 를 무한히 작게 하여, 그 크기가 분자 정도로 작아졌을 경우, 우리가 생각하는 안에 유체 분자가 하나 있거나 혹은 전혀 없는 상황이 될 것이다. 이 경우 위 (1.2) 식과 같은 밀도의 정의를 순진하게 그대로 사용하여 밀도를 계산한다면 밀도는 ‘0’이거나 혹은 유체 1개 분자의 무게를 로 나눈 것이 될 것이다. 이러한 상황은 우리가 원하는 밀도의 개념과는 거리가 멀다. 따라서 유체역학에서 생각하는 무한소 개념은 수학적인 무한소개념과는 완전히 일치하지 않는 것임에 유의해야 한다.
유체역학에서 생각하는 공간의 어떤 미소한 부분인 국지(local)는 거시적(macroscopic)관점에서 볼 때 미소한 점(點)이지만, 미시적(microscopic)관점에서 볼 때, 유체 입자는 ‘브라운 운동’(Brown motion)이라 불리는 미세하고도 복잡한 분자적 운동을 하고 있다. 한편, 거시적 관점에서 볼 때 이러한 브라운 운동은 서로 상쇄되어 운동은 없다고 가정한다.

연속성 가설의 적용
연속성 가설의 개념을 알기 위한 또 다른 예로서, 예민한 온도계로 물이나 공기 온도를 측정할 경우를 가정하자. 온도계 온도감응 부분이 0.1 정도의 크기라 하면, 이 온도계에 나타나는 온도는 = 정도의 공기 부피에 대한 온도를 나타내는 것이라고 볼 수 있다. 표준대기상태인 15℃, 1기압에서의 공기 체적 안에는 약 개의 공기분자가 있으므로, 온도계는 ‘무한히’ 많은 공기분자에 대한 거시적 온도를 나타내게 된다. 액체의 경우엔 공기보다도 단위체적당 더 많은 분자를 포함하게 된다. 따라서 유체역학에서 취급하는 무한소 개념은 ‘수학적’인 극한으로서의 무한소가 아니라, 그 안에 많은 수의 분자를 포함하고 있는 ‘무한소’ 이며, 이와 같은 무한소에 수학적 미분의 개념을 적용할 수 있다고 가정한다. 이런 가설을 연속성 가설이라 한다.
이 개념을 확장하면, 모래와 같은 다공매질 사이를 흐르는 유체의 운동을 다룰 경우에도 다공매질 자체를 연속의 개념으로 다룰 수 있다. 심지어 고전적 우주론의 문제에서도 수많은 천체운동에 대해 유체역학적 연속의 가설개념을 활용하기도 한다.

2. 유체의 물리적 성질
2-1. 밀도(density)
밀도는 단위 부피(체적)당 유체의 질량을 말한다. 밀도가 어느 곳에서나 같은 유체를 균일(homogeneous)유체라 한다. 밀도를 정의할 때, 유체 내에는 수많은 지점이 있으므로 공간 직교좌표계를 사용하여 로 표현할 수 있으며 스칼라(scalar) 양이다. 밀도가 일정하지 않고 공간상의 위치에 따라 각기 다른 경우, 각 부분의 밀도는

로 정의되지만, 이 경우 미소부피 는 거시적 관점에서의 미소이고, 미시적인 관점에서 보면 수많은 유체분자를 포함하는 부피이다(그림 1.7).

그림 1.7 유체의 밀도정의. 미소부피 는 거시적 관점의 미소이고, 미시적 관점에서 수많은 유체분자를 포함한다.

1) 비중(specific gravity)
비중은 4℃ 물의 밀도와 어떤 물질의 밀도와의 비를 말한다. 따라서 비중은 밀도의 비이므로, 물리적 차원을 가지지 않고, 다만 같은 부피의 어떤 물체가 4℃ 물에 비해 몇 배 무거운가 하는 비를 나타낸다.

2) 비체적(specific volume, ), 비체적편차(specific volume anomaly, )
밀도의 역수인 을 비체적이라 한다. 한편, 해수의 밀도를 비체적편차로 나타내기도 한다. 비체적편차는 기준해수(온도 0℃, 염분 35)의 비체적()과 현장(in situ) 해수의 비체적과의 차이를 말한다. 비체적편차 는 아래와 같이 정의한다.

3) 시그마()
순수한 물은 4℃일 때 밀도가 가장 크며, 이 때 밀도의 크기를 단위로 나타내면 이지만, 단위로 나타내면 이다. 해수의 밀도는 일반적으로 염분, 온도, 압력에 따라서 달라진다. 해수의 밀도는 보통 1.020～1.030 정도이고, 해양 전체 50% 정도의 해수밀도는 1.0277～1.0279 의 범위에 있으므로, 해수밀도를 그대로 표시하는 것보다 아래와 같이 정의된 시그마()로 나타내는 것이 편리하다.

예를 들어 밀도가 = 1.02750 또는 1,027.50 인 해수의 경우, 식 (1.5)와 (1.6)에 의해 = 27.50으로 표시한다.

시그마 t(), 시그마 세타()
해수의 염분과 온도가 같은 경우라도 압력(수심)에 따라 밀도에 변화가 있으므로, 해수의 특성을 순수하게 비교하기 위해서는 같은 압력상태의 밀도로 환산하여 비교해야 한다. 해수압력에 의한 밀도변화를 제거해 대기압 혹은 해면상의 밀도로 고친 것에 와 가 있다. 이들은 아래와 같이 정의 된다.

여기서 는 포텐샬 수온(potential temperature)이다.

2-2. 점성(viscosity)
실제 유체는 점성이란 성질을 가지며, 점성은 유체 흐름에 저항하는 힘의 크기에 의해 결정된다(그림 1.8). 따라서 점성이란 유체에 전단력(shear force)을 생기게 하는 성질이다.

그림 1.8 유체의 점성

그림 1.9(a)와 같이 평행한 두 평판 사이에 점성유체가 있을 때, 위 평판을 일정한 속도(등속도) 로 움직이게 하려면 계속 힘을 가해야 한다.

그림 1.9 두 평판 사이 유체에 작용하는 힘()과 속도의 경사()

이 때, 위 평판을 일정한 속도 로 운동시키는데 필요한 힘 는 위 평판의 넓이 와 속도 에 비례하고, 두 평판 사이의 수직거리 에 반비례한다. 즉, 힘과 속도 경사(velocity gradient)는 비례 관계에 있으며, 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또는

식 (1.9)를 미분형으로 나타내면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서, 는 전단응력(shear stress)으로 그림 1.10에서와 같이 유체의 ‘면’에 평행하게 작용하는 단위 면적당의 힘이다. 는 속도의 기울기 혹은 각 변형률이다. 식 (1.10)을 뉴-톤의 점성법칙이라 한다. 비례상수인 는 유체의 점성계수(viscosity coefficient 또는 dynamic viscosity coefficient)라 한다. 이처럼 등속도 운동의 경우에도 힘이 필요한 것은 두 평판 사이 속도의 경사()에 비례하는 저항력이 있기 때문이다. 층류(laminar flow)의 경우 이 저항력은 유체의 점성력 때문에 생긴다.

머리말

우리가 살고 있는 세계는 유체로 둘러싸여 있다. 발밑의 땅은 딱딱한 고체지만 머리 위는 대기가 있고, 가까이는 강이나 바다가 있다. 또한 우리가 늘 사용하는 수도나 가스를 비롯해 배나 비행기들도 모두 유체의 도움을 받고 있다. 한편, 이런 환경 속에서 우리와 친숙한 물과 관련된 운동이나 움직임을 다루는 수리학이 육상의 수리현상을 중심으로 꾸준히 발전해 왔고, 수리학(육상유체의 역학)과 관련된 다수의 유체역학 교재가 만들어졌다. 그러나 지구면적의 2/3를 차지하는 해양의 수리현상에 관해서는 그 수가 매우 적으며, 그 중 우리글로 읽을 수 있는 해양유체역학 관련서적은 더욱 찾아보기 어려운 실정이다. 최근 우리 주변의 해양개발이나 해양환경보전, 해양재난 등에 대처하기 위한 해역의 수리현상에 관한 흥미와 이해의 필요성을 감안할 때, 앞으로 우리에게 해양유체에 대한 관심과 연구는 더더욱 요구될 것이다.
이 책은 해양(또는 기상)의 유동현상을 이해하기 위한 초보적 지구유체역학 입문서이다. 지구유체는 일반유체와 달리 지구자전현상에 따른 전향력이 유체이동과 관련되어있어, 해양이나 기상현상을 다루고 그 운동을 해석할 때 전향력이 얼마나 영향을 미치는지 반드시 고려되어야 한다. 따라서 이 책은 내용을 구성할 때 해양학을 공부하는 입장에서 중요하다고 생각되는 해양유체 문제에 중점을 두고 그 예를 들었다. 또 이 책은 해양학에 필요한 기본흐름에 대한 수력학 및 해양역학적 내용을 다루어 해양유체의 여러 상황에 대한 역학적 거동을 기술하였다. 따라서 이들 문제를 수식으로 다루어야 할 경우, 다소 장황하고 산만하다고 느낄 정도로 가능하면 친절하게 기초 수학적 지식을 같이 제시하여 논리의 전개나 개념이해에 도움이 되도록 하였다. 책 내용의 정도로 볼 때, 이 책의 대상은 해양학을 처음 접하는 학부과정 및 대학원 저학년과정 학생 또는 타 분야에서 관련된 해수유동 문제를 해결해야 하는 종사자가 될 것으로 생각된다.
끝으로, 이 책은 본 저자가 학부 및 대학원 초급과정에 배운 유체역학 -해양학과 기상학을 위한 지구유체역학 입문- 의 내용을 근간으로 하였다. 이 내용들은 해양학 공부에 필요한 적절한 교재가 없어 두꺼운 원서로 혼자 씨름하던 시기에 어렵게만 여겨졌던 해양유체역학의 기본개념을 이해하는데 매우 큰 도움이 되었다. 이 책의 작성에 있어 저자의 노력은 이 내용으로 오랫동안 학부생들에게 해양유체역학을 이해시킴에 있어 좀 더 이해하게 쉽게 설명한 것에 지나지 않는다. 당시 훌륭한 강의와 강의노트를 만들어주신 은사 강용균 교수님께 진심으로 감사의 마음을 전한다. 아울러 참고문헌의 여러 저서와 해양유체 현상에 관한 위키사전 및 여러 유용한 인터넷 검색정보를 제공해 주신 관련 모든 분들에게 감사드린다.

2014년 5월

추 효 상