선형대수학

1 연립일차방정식과 행렬 1
1.1 연립일차방정식 1
1.1.1 일차방정식 1
1.1.2 연립일차방정식과 그 풀이 3
1.2 행렬과 행렬연산의 정의 6
1.2.1 행렬의 정의 6
1.2.2 행렬의 연산 8
1.3 행렬을이용하여연립방정식 풀기 11
1.3.1 가우스의 기본행연산 11
1.3.2 행렬의 행계수 16
1.4 연립일차방정식의응용 27
1.5 여러가지 행렬과 성질 29
1.5.1 여러가지 행렬 29
1.5.2 행렬 연산에 관한 성질 32
1.6 역행렬 36
1.6.1 역행렬 36
1.6.2 역행렬 구하기 39
1.6.3 역행렬을이용하여연립일차방정식 풀기 42
1.7 기본행렬 44
1.8 Sage 53
1.8.1 1.1절 Sage 53
1.8.2 1.2절 Sage 55
1.8.3 1.3절 Sage 56
1.8.4 1.4절 Sage 58
1.8.5 1.5절 Sage 59
1.8.6 1.6절 Sage 60
1.8.7 1.7절 Sage 61

2 행렬식 65
2.1 행렬식의 정의 65
2.2 행렬식의 성질 70
2.3 딸림행렬과 Cramer 공식 82
2.3.1 딸림행렬 82
2.3.2 Cramer 공식 84
2.4 행렬식의응용 88

3 벡터공간 93
3.1 벡터의 구현 93
3.1.1 평면벡터의 구현 93
3.1.2 벡터의 연산 94
3.1.3 공간벡터 98
3.1.4 벡터공간 Rn 102
3.2 벡터공간의 정의 106
3.2.1 벡터공간의 정의 106
3.2.2 부분공간 109
3.3 기저 113
3.4 행렬의 행공간과 열공간의 기저 찾기 122
3.5 변환행렬 129
3.5.1 변환행렬 129
3.5.2 R2에서 좌표의 회전 131

4 내적공간 135
4.1 유클리드 내적 135
4.1.1 벡터의 크기 135
4.1.2 유클리드 내적 138
4.2 내적공간 144
4.3 벡터의 사영 149
4.4 정규직교기저 153
4.5 Gram-Schmidt 직교화 과정 158
4.6 직교여공간 163
4.7 최소제곱분석 168
4.7.1 최소제곱문제 168
4.7.2 최소제곱문제의 정규 방정식 173
4.7.3 모델링 175

5 선형변환 179
5.1 선형변환 180
5.2 행렬로 정의되는 선형변환 187
5.3 선형변환과 행렬 1 190
5.4 선형변환의 핵과 상 194
5.5 동형변환 202
5.6 선형변환과 행렬 2 205
5.7 선형변환의 합성과 역변환 212
5.8 선형변환의 행렬들의유사성 216

6 고윳값과 고유벡터 221
6.1 고윳값과 고유벡터 221
6.2 고유공간 232
6.3 n차 정사각행렬이 n 개의일차독립인 고유벡터를 가질 때 235
6.4 대칭행렬의 대각화 240
6.5 응용 245
6.6 대각화가능한행렬의 특징 253

7 복소벡터공간 255
7.1 복소수 257
7.2 복소벡터공간 259
7.3 복소내적 261
7.4 에르미트행렬 262
7.5 Cayley-Hamilton 정리 265
7.6 최소다항식 268
7.7 에르미트행렬의 최소다항식 270
7.8 에르미트행렬의 대각화 272
7.9 대칭행렬의 대각화 274
7.10 상공간과 정사각행렬의 삼각화 274

물리에서 벡터란 크기와 방향을 갖는 물리적인 양이다. 그러나 정의 3.2.1에서 정의한 벡터공간에서는 벡터들의 연산규칙만을 제공하고 있고 벡터의 크기와 방향을 설명할 수 있는 도구가 없다. 이 단원에서는 임의의 벡터 공간에서 벡터의 크기와 방향, 특히 두 벡터 사이의 최단 거리를 정의할 수 있도록 하는 내적이라는 개념을 소개하고 이를 이용한 여러 분야로의 응용을 살펴본다.