공업수학 Express

공업수학의 복잡한 내용을 그림과 도표를 활용하여 알기 쉽게 풀어 서술함으로써 쉽게 이해할 수 있도록 집필한 교재다. 수학의 기초지식을 탄탄히 쌓지 못했던 학생들도 스스로 읽어가면서 학습할 수 있도록 학생들의 눈높이에 맞추어 최대한 쉽게 풀어 썼다.

이 책의 구성과 특징

이 책을 쓰면서 필자는 공업수학 중 반드시 알아야만 하는 필수적인 내용만을 엄선하기 위해 많은 고민을 하였으며, 지나치게 복잡하고 어려운 내용은 과감히 생략하였다. 이 책은 전체 11개의 단원으로 구성되어 있으며, 필자의 30년간의 강의 경험을 살려 학생들이 스스로 책을 읽고 문제를 풀어가면서 교재의 내용을 쉽게 이해할 수 있도록 저술하였다.
이 책의 주요 특징은 다음과 같다.
- 수학적인 개념과 원리를 그림이나 표로 일목요연하게 제시하여 학생들이 최대한 이해하기 쉽게 구성하였다.
- 교재의 중간에 『여기서 잠깐!』이라는 코너에서는 과거에 학습한 기억을 되살리거나 주의해야 할 내용을 다시 간략하게 설명함으로써 학생들이 다른 교재를 찾아보는 수고를 덜어 학습의 연속성을 유지할 수 있도록 하였다.
- 부록에는 각 단원에 엄선된 모든 연습문제의 정답을 수록하였다.

이 책의 내용

1장에서는 1차 미분방정식의 해법에 대해 학습한다. 가장 간단한 형태인 변수분리형으로부터 시작하여 동차미분방정식, 완전미분방정식에 대해 다룬다. 특히 선형 1차 미분방정식의 일반적인 해법에 대해서도 다루며, 복잡한 형태이기는 하지만 적절한 치환에 의해 간단한 형태로 변환되는 경우도 학습한다.
2장에서는 실제적인 공학문제에서 가장 흔하게 접할 수 있는 2차 미분방정식의 해를 구하는 방법에 대해 학습한다. 특히 상수계수를 가지는 미분방정식의 해법은 고차 미분방정식의 해를 구하는 데 기초가 되는 매우 중요한 내용이므로 충분한 이해가 필요하다.
3장에서는 2장에서 학습한 2차 선형미분방정식의 해법을 확장하여 고차 선형미분방정식의 해를 구하는 방법에 대해 학습한다. 차수가 높다고 해서 그 해석방법이 특별히 어렵거나 복잡하지 않으며, 새로운 해석기법을 도입하여 해를 구하지도 않는다. 특히 3장에서는 외부에서 인가되는 강제함수가 정현파(사인이나 코사인함수)인 경우에만 적용할 수 있는 복소지수함수를 이용하여 특수해를 구하는 해석법과 복수 개의 미분방정식으로 구성되는 연립미분방정식의 해법을 소개한다.
4장에서는 시간영역의 함수를 주파수영역의 함수로 변환시킴으로써 시간영역에서 주어진 복잡한 공학문제들을 주파수영역에서의 단순한 문제들로 변형시켜 해결하는 Laplace 변환에 대해 학습한다. Laplace 변환을 이용하면 선형미분방정식은 물론 선형연립미분방정식의 해도 간단한 대수방정식의 해를 구함으로써 쉽게 구할 수 있다. 더욱이 합성곱이라는 시간영역에서의 복잡한 연산도 Laplace 변환과 역변환을 이용하여 쉽게 계산할 수 있다는 사실은 Laplace 변환이 얼마나 강력한 수학적인 도구인가를 알 수 있게 해 준다.
5장에서는 위치벡터를 도입하여 이를 수학적으로 표현하고, 벡터 간의 기본 연산인 벡터 덧셈과 스칼라 곱에 대해 다룬다. 또한 벡터 간의 곱셈에 해당되는 두 가지 연산, 즉 내적과 외적을 정의하여 이를 실제 문제에 활용해 본다. 더욱이 벡터를 수학적으로 표현하기 위해 주로 많이 사용되는 3차원 공간직교좌표계에 대해 설명하고, 각 좌표계 사이의 변환관계에 대하여 학습한다. 마지막으로 평면벡터와 공간벡터의 개념을 추상화하여 확장시킨 벡터공간과 기저벡터, 차원 등을 다룬다.
6장에서는 행렬과 행렬식을 정의하고, 행렬을 이용하여 선형연립방정식의 해를 구하는 방법에 대해 다룬다. 선형연립방정식은 많은 공학문제에서 흔히 접하기 때문에 빠르고 정확하게 해를 구하는 방법을 충분히 숙지해야 한다. Gauss 소거법과 역행렬을 도입하여 선형연립방정식의 해를 구하는 방법을 소개하고, 또한 행렬식을 이용하여 선형연립방정식의 해를 구하는 Cramer 공식에 대해서도 학습한다. 마지막으로 선형시스템이나 제어시스템의 해석에 있어 매우 중요한 행렬의 고유값 문제와 행렬의 대각화 기법에 대해 다룬다.
7장에서는 위치벡터에 대한 미분과 적분법을 다룬다. 벡터장의 발산과 회전, 스칼라장의 기울기 등은 많은 공학 문제에서 매우 중요하게 다루어지는 개념이다. 벡터적분에서는 3차원 공간에서의 곡선과 곡면에 대한 적분을 일반화하여 얻어지는 Green 정리, 발산정리, Stokes의 정리 등에 대하여 다룬다. 또한 미적분학에서 다루었던 다중적분과 변수변환을 통한 다중적분의 계산법에 대해서도 소개하였다.
8장에서는 주기함수를 주파수가 다른 사인과 코사인 함수의 무한급수 형태로 표현하는 방법에 대해 학습한다. 주어진 주기함수가 우함수 또는 기함수인 경우 나타나는 Fourier 사인 및 코사인 급수에 대해서도 학습한다. 또한 주기함수가 아닌 비주기함수에 대해 반구간 전개라는 방법을 통해 특정구간에서의 Fourier 급수로 표현하는 것을 다룬다. 마지막으로, Fourier 급수의 복소수 형태에 대해 학습함으로써 복소 Fourier 계수를 결정하는 공식을 유도한다.
9장에서는 실제 문제에서 많이 나타나는 비주기 함수에 대해 Fourier 급수의 방법을 일반화하여 얻어진 Fourier 적분에 대해 학습한다. Fourier 급수의 복소수 형태를 일반화한 Fourier 변환의 정의 및 여러 가지 중요한 성질에 대해서도 다룬다. 또한 Laplace 변환과 Fourier 변환의 유사성에 대해 학습하면서 Fourier 변환이 Laplace 변환의 특별한 경우라는 것에 대해 고찰한다.
10장에서는 공학의 여러 분야에서 문제를 쉽게 해결하는 데 강력한 도구를 제공하는 복소변수함수에 대해 다룬다. 특히 복소해석에 있어 주요한 관심 대상이 되는 복소해석함수를 정의하고, 실함수에서 다루었던 극한과 연속성, 미분가능성에 대한 개념을 복소변수함수로 확장하여 Cauchy-Riemann 방정식을 유도할 것이다. 또한 실변수 함수에서 학습한 지수함수와 로그함수를 확장한 복소지수함수와 복소로그함수, 복소삼각함수, 복소쌍곡선함수 등의 여러 가지 성질에 대하여 고찰한다.
11장에서는 복소해석학에서 가장 기본이 되면서도 중요한 Cauchy의 적분정리에 대해 다룬다. 또한 Cauchy 적분정리의 중요한 결과로서 Cauchy 적분공식을 유도하고, 이를 확장하여 해석함수의 n차 도함수의 존재에 대해 학습한다. 또한 실함수에 대한 Taylor 급수의 개념을 복소해석함수로 확장하여 복소 Taylor 급수와 Laurent 급수에 대해서 살펴보고 유수(Residue)의 개념을 도입한다. 마지막으로 유수정리를 이용하여 일반적인 복소선적분을 계산할 수 있는 유수적분법에 대하여 다루고, 이를 실함수의 복잡한 적분을 해결하는데 활용할 수 있다는 것에 대해 학습한다.