수학은 상상

서문

1부. 수와 상상

01 소수의 발견
에라토스테네스의 체에서 리만 가설까지
스토리 플러스 ∷ 이탕 장, 수학의 세계를 묵묵히 걸어가다
02 칸토어의 낙원과 상상의 힘
무한에도 크기가 있을까?
스토리 플러스 ∷ 수학과 저널, 그 권위는 어디서 오는가?
03 무리수와 네모 채우기
수에도 모양이 있을까?
스토리 플러스 ∷ 알렉산드리아가 사랑한 수학자, 히파티아
04 분수의 꿈과 비밀
데카르트의 정리와 원 채우기 놀이
스토리 플러스 ∷ 신기한 분수 1/9801
05 의심의 불씨와 폭발
수학을 믿어도 될까?
스토리 플러스 ∷ 2 + 2 = 5 이야기
06 괴델의 불완전성 정리
수학의 토대를 살펴보다
스토리 플러스 ∷ 컴퓨터와 인공지능의 창시자, 앨런 튜링
07 확률과 믿음
불확실성에 대처하는 수학자의 자세
스토리 플러스 ∷ 일기예보의 정확도를 높이는 법

2부. 모양과 상상

08 대칭의 아름다움
벽지무늬 속에 숨겨진 수학
스토리 플러스 ∷ 위상수학자 폰트랴긴의 어머니
09 3대 작도 문제
불가능을 증명할 수 있을까?
스토리 플러스 ∷ 각의 삼등분가를 만나게 된다면
10 비유클리드 기하학의 탄생
2천 년 동안의 불편함, 평행선 공리
스토리 플러스 ∷ 새로운 우주를 만들다, 야노시 보여이
11 마음의 눈으로 떠나는 여행
우주에 끝이 있을까?
스토리 플러스 ∷ 논문보다 더 중요한 가치를 생각하다, 윌리엄 서스턴

감사의 말

수학 공부를 직업으로 삼고 있는 지금까지도 수학을 어떻게 정의해야 하는지 알지 못한다. 누구는 영속하는 진리의 추구를 수학의 본질로 이야기하지만, 태양계의 수명이 다하게 되면 수학도 인류와 함께 사라질 것이다. 누구는 논리적 완벽함을 말하겠지만, 역사적으로 대부분의 수학은 현대 논리학의 관점에서 엄밀하지 않았다. 다만 수학은 수학자들의 마음속에 있는 아름다운 그림으로서 고대로부터 전해져 왔고, 이는 수학자들의 상상으로 더욱 풍성해졌다.＿서문 중

방의 개수가 알레프 영인 호텔을 생각해 보자. 정확하게 말하자면, 각각의 자연수 1, 2, 3, 4, …에 대응되는 방 1호실, 2호실, 3호실, 4호실, …이 있다고 가정하는 것이다. 어느 날, 이 호텔이 투숙객으로 가득 찼다. 그런데 저녁이 되자 어떤 지친 여행자한 명이 도착한다. 딱한 마음에 이 여행자를 돌려보내지 못하는 매니저는 어떻게 해야 할까
이것이 힐베르트의 사고 실험이었다. 그가 제시한 아이디어는, 모든 투숙객에게 한 칸씩 옆방으로 옮겨 달라 부탁하는 것이었다. 그러면 1호실의 손님은 2호실로, 2호실의 손님은 3호실로 와 같이 옮겨서 1번 방이 비게 된다. 여기에 지친 여행자를 묵게 하면 되지 않겠는가. ＿02 무한에도 크기가 있을까

우리 삶의 많은 부분은 수학으로 이루어져 있다. 예금의 이자나 자동차 할부금, 축구팀의 월드컵 진출을 위한 경우의 수, 경제의 성장률이나 사회의 불평등 지수처럼 수학적 사고를 통하여 세상을 바라보기도 한다. 이럴 때 ‘수학적 사실’이라는 말은 절대 틀리지 않는 진리라는 의미로 통용되고는 한다.
심지어 우리는 목숨을 수학에 걸기도 한다. 자동차의 엔진 분사나, 비행기의 자동항법, 약의 성분 배합처럼 잘못된 대처가 심각한 위험을 가져올 수 있는 상황에서도 우리는 수학을 신뢰한다. 수학의 규칙을 통하여 답을 구하였다면, 그 답을 믿어도 아무 문제가 없을 것이라 생각한다. 어려운 수학 문제는 있을지언정, 수학 자체가 틀리는 경우는 없을 거라고 믿는 것이다. 그리고, 수학으로 도출된 사실은 모두 진실일 것이라 예상한다. 정말 그런 걸까? 그건 누가 정한 것일까? 수학은 정말 믿고 써도 안전한 것일까. ＿05 수학을 믿어도 될까