측도론

제1장 측도(Measure) 1
1.1 집합. 2
1.2 위상공간. 3
1.3 확장된 실수. 3
1.4 외측도(Outer Measure) . 9
1.5 σ-대수. 9
1.6 측도(Measures) . 14
1.7 영집합(零集合, null set) . 17
1.8《1장 연습문제》. 19

제2장 르베끄(Lebesque) 측도 25
2.1 르베끄 외측도. 27
2.2 직사각입체의 외측도. 29
2.3 카라테오도리(Caratheodory) 가측성 . 33
2.4 영집합과 완비성. 38
2.5 이동 불변성(Translational invariance) . 39
2.6 보렐(Borel) . 41
2.7 보렐(Borel) . 45
2.8 선형변환. 52
2.9 르베끄-스티엘쯔(Lebesque-Stieltjes) 측도. 57
2.10《2장 연습문제》. 58

제3장 가측함수 63
3.1 가측함수의 정의. 63
3.2 실수값을 갖는 가측함수. 65
3.3 함수열의 점별수렴성. 69
3.4 단순함수. 70
3.5 거의 모든 곳에서 성립하는 성질. 72
3.6《3장 연습문제》. 73

제4장 르베끄 적분 75
4.1 단순함수의 적분. 75
4.2 양함수의적분. 76
4.3 가측함수의 적분. 79
4.4 함수의 절대연속성. 83
4.5 함수열의 수렴성에 관한 정리. 86
4.6 복소수 값을 갖는 함수열의 수렴성. 91
4.7 L1-공간. 92
4.8 Riemann 적분 . 94
4.9 벡터값을 갖는 함수의 적분. 95
4.10《4장 연습문제》. 96

제5장 곱측도(Product Measure) 99
5.1 곱σ-대수. 99
5.2 전측도(Premeasure) . 102
5.3 곱측도(Product measure) . 105
5.4 가측함수(measurable function). 108
5.5 단조 집합족 정리. 108
5.6 Fubin의 정리. 109
5.7 곱측도의 완비성. 110
5.8《5장 연습문제》. 111

제6장 미분(Di erentiation) 115
6.1 피복 정리(Covering Lemma). 117
6.2 극대 함수(Maximal function) . 118
6.3 약한 L1-공간 . 120
6.4 Hardy-Littlewood의 정리 . 122
6.5 Lebesque의 미분정리. 123
6.6 부호를 갖는 측도 . 126
6.7 Hahn-Jordan 분활. 128
6.8 Radon-Nikodym의 정리 . 132
6.9 복소수 측도 . 137
6.10《6장 연습문제》. 138

제7장 Lp-공간 143
7.1 Lp-공간 . 143
7.2 Minkowski와 Holder의 부등식 . 145
7.3 조밀성(density) . 147
7.4 완비성(completeness) . 148
7.5 쌍대성(duality) . 151
7.6 《7장 연습문제》 . 157

부록 A 159
A.1 집합의 개념 . 159
A.2 집합의 연산. 162
A.3 함수. 165
A.4 첨수집합족과 카르테시안곱 . 168
A.5 동치관계와 순서관계 . 171
A.6 가산집합과 비가산집합 . 177
A.7 서수와 기수 . 180
A.8《연습문제》. 187

부록 B 191
B.1 거리공간 . 191
B.2 위상공간 . 197
B.3 연속함수와 위상동형함수 . 198
B.4 컴팩트 공간 . 202

부록 C 205
그리스 문자 . 205
기호표 . 206
참고문헌 . 207

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