잡동사니 역학상자 열기

제1장 운동관련 / 11
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제1장 운동관련

□ 스칼라 (scalar)와 벡터 (vector)

■ 스칼라 (scalar) : 크기만 가지는 물리변수(량)
■ 벡터 (vector) : 크기와 방향까지 알려주는 물리변수(량)

(분류해보기)
질량, 온도, 압력, 부피, 전하량, 몰, 칸델라, sec, 각도, 회전수, rad, 중력, 전기력, 자기력, 속도, 속력, 힘 (力), 에너지, 관성모멘트, 토크, 중력가속도, 만유인력상수, 유전율, 볼츠만 상수, 선운동량, 각운동량, 역학적 에너지 등

▶ 벡터 (vector) 표시

Symbol 표시: 혹은 A (bold 체. 약간 진하고 굵게 표시)
벡터의 크기: 혹은
성분: 1차원 (), 2차원 (), 3차원 ()

▶ 단위벡터: 혹은 (, , )

는 축 단위 벡터 (의미) 크기는 1이고 방향은 축, 성분표시 (1, 0, 0)
는 축 단위 벡터 (의미) 크기는 1이고 방향은 축, 성분표시 (0, 1, 0)
는 축 단위 벡터 (의미) 크기는 1이고 방향은 축, 성분표시 (0, 0, 1)

(예) 단위벡터 사용해 표시하기 혹은

■ 벡터의 합성 (＋)

(예) 벡터 합성의 크기

벡터 의 크기

직각삼각형

(예) 크기가 인 두 벡터의 사이 각도가 이다. 합성한 벡터의 크기는?

(예) 방향이 서로 직각이고 크기가 6N과 8N인 두 힘이 작용하고 있다. 합력의 크기[N]는?

[Note] 이 문제는 벡터라는 개념을 몰라도 수학에서 나온 피타고라라스 정리를 이용하면 바로 풀 수 있다.
(주의) 이 벡터를 나타내기 때문에 단순히 두 개를 더하면 안 된다.

■ 벡터의 차 (－)

벡터 가 있을 때, 벡터 는 크기는 같고 방향이 반대이다.

따라서 이므로, 평행사변형법에 의해 를 구한 후, 다시 평행이동을 시키면 최종적으로 ()를 구할 수 있다.

앞으로는 위와 같이 복잡하게 하기보다는 ()를 구할 때, ()벡터 끝점에서 바로 ()벡터 끝점으로 선을 그으면 된다. (즉, 벡터 와 벡터 의 시작점을 서로 맞춘 후 에서 바로 쪽으로 선을 그어준다)

■ 벡터의 성분 및 분해

2차원인 경우 혹은
벡터 의 성분표시:

양변 제곱

벡터 의 크기 :
각도:
벡터 성분표시:

[예제] 철수가 북동쪽으로 500m 걸어간 후에 남동쪽으로 200m 걸어갔다. 처음 위치를 원점으로 할 때 최종 위치의 좌표와 처음 위치부터 최종 위치까지의 직선거리 및 동쪽 방향과 이루는 각도는?

[해설]

를 원점으로 평형 이동시킨다.

의 크기 [m]
방향

■ 벡터의 내적 (inner product)

(정의) (는 벡터 와 벡터 의 사이 각도)

(2차원 경우)

[Note] 단위벡터의 크기는 1이다.

각도 () :

(예)
또한,
벡터 의 크기 :

(정리)
①
② (2차원인 경우)
③

(심화)
[Note] 내적을 를 사용해서 표현


(3차원인 경우)

(사용) 일과 에너지에서 일 (work)을 정의할 때 이용한다.

일 (Work, ) (힘 거리를 곱해준다)
( 방향으로 작용하는 힘)

■ 벡터의 곱 (×)

(정의)

① 각도 ()가 주어질 때
(는 벡터 와 벡터 의 사이 각도)
② 성분이 주어질 때 (직교 좌표에서)

(방법1) 행렬식 이용

(방법2) 직접 계산

[Note]

단위벡터의 벡터의 곱 () 계산

자기 자신과의 곱은 0

cyclic 일 때는 순서대로

즉, , , 이런 순서로 순차적이다.

가 순차적이 아닐 때 (non cyclic) 값이 됨

(상황) 라고 하자. 그러면 는 벡터 와 에 수직이다.

즉, 두 벡터의 내적을 했을 때, 0이 된다는 것은 두 벡터 사이의 각이 90도 임을 의미한다.

동일 방법으로 계산한다.

와 는 90도 임을 의미한다.

위의 2가지를 종합해 볼 때, 최종적으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

는 벡터 와 에 수직이다