극단 모형을 이용한 기후변화 통계론

▪ 머리말 / 07

제1장 통계적 추론의 기초 이론과 방법 / 15
1.1 점추정 방법 / 17
1.1.1 최우추정법 / 18
1.1.2 L-적률추정법 / 21
1.2 구간 추정 / 28
1.3 붓스트랩을 이용한 통계적 방법 / 32
1.4 적합도 검정 / 38
1.4.1 Kolmogorov-Smirnov test / 38
(1) 일표본 K-S 검정 / 39
(2) 이표본 K-S 검정 / 42
1.4.2 Cramer-von Mises 검정 / 43
1.4.3 Anderson-Darling 검정 / 43
1.4.4 분위수 그림(Q-Q plot) / 45

제2장 극단 기상 자료의 모형화 / 51
2.1 일반화 극단 분포 / 54
2.1.1 분포의 정의와 모양 / 54
2.1.2 모수의 추정과 귀환수준 / 59
(1) 최우추정법 / 59
(2) L-적률 추정법 / 60
(3) 귀환수준 / 62
2.1.3 모형 진단 / 65
2.2 일반화 파레토 분포 / 68
2.2.1 일반화 파레토 분포의 정의 / 68
2.2.2 임계값 결정 방법과 귀환수준 / 70
(1) 평균 초과함수 그림 / 70
(2) 적합도 방법으로 임계값 구하기 / 73
(3) 붓스트랩 방법으로 임계값 구하기 / 74
2.2.3 모형집단 / 76
2.2.4 귀환수준 등고선 지도 / 77
2.3 비정상 GEVD 모형과 r-GEVD / 79
2.3.1 비정상 GEV 분포 / 79
2.3.2 r-GEV 분포 모형 / 80
2.3.3 극단모형의 적용상 유의점 / 85

제3장 비정상 극단 모형 / 89
3.1 서론: 비정상 극단 모형 연구의 필요성 / 92
3.2 태국의 연간 최대 일일 강수량 자료 및 기후 / 93
3.3 비정상 GEV 모형과 통계적 방법론 / 98
3.3.1 극한값에 대한 시간 종속 모델 / 98
3.3.2 모수 추정 및 모델 선택 / 98
3.3.3 모형 진단 및 적합도 검정 / 101
3.3.4 귀환수준 / 101
3.3.5 추세에 대한 Mann-Kendall 검정 / 02
3.4 태국 최대 강수량 자료에 비정상 극단 모형을 적용한 결과 / 104
3.4.1 선택된 비정상 극단 모형 / 104
3.5 토론 및 결론 / 111

제4장 공간적 극단 모형과 그 적용 / 117
4.1 공간적 극단 모형의 필요성 / 119
4.2 Max-stable 과정 / 123
4.3 합성 우도와 추정 / 125
4.4 한국 최고 기온에 MSP를 적용 / 126
4.4.1 남한 전 지역에 대한 모형 적합 / 130
4.4.2 지역적 모형화와 진단 / 132
4.5 한국 최고 기온에 적용 / 138
4.5.1 귀환수준의 추정 / 138
4.5.2 미관측 지점에서의 예측 / 141
4.6 결론과 논의 / 142

제5장 기후 시뮬레이션 모델의 편의보정 / 149
5.1 편의보정의 필요성 / 152
5.2 일변량 편의보정 방법 / 153
5.2.1 델타 변경 / 154
5.2.2 분위수 매핑 / 156
5.2.3 경향 보존법 / 158
5.3 다변량 편의보정 / 160
5.3.1 경험적 코플라 기반 보정 / 160
5.3.2 직교 회전 행렬 방법 / 162
5.3.3 최적 확률적 보정 / 163
5.4. 한국 최대 강수량 자료에 적용 / 164
5.4.1 서론 / 164
5.4.2 한국 최대 강수량과 기후 모델 / 166
5.5 분석 결과 / 168
5.6 토의와 결론 / 172

제6장 기후 시뮬레이션 모델의 앙상블: 이지안 모형 평균화와 분위수 매핑 / 177
6.1 시뮬레이션 모델의 가중평균 / 179
6.2 지역빈도분석 / 182
6.3 베이지안 모형평균과 불확실성의 계량화 / 183
6.4 일반화 분위수 매핑을 사용한 BMA / 189
6.4.1 α-편의보정 방법 / 190
6.4.2 보정률 α와 베이지안 모형 평균 / 191

▪ 찾아보기 / 199

제1장 통계적 추론의 기초 이론과 방법
1.1 점추정 방법
통계적 모형에는 대부분 매개변수 또는 모수(parameter)를 포함하고 있으며 이 모르는 모수는 보통 자료로부터 추정된다. 여기서는 먼저 추정 방법에 대해 다루겠다. 추정법으로는 크게 어떤 하나의 값으로 구하는 점추정법과 어떤 구간으로 구하는 구간추정이 있다. 먼저 점추정 방법부터 알아본다. 이 장에서 다루는 내용은 류상범과 박정수(2012) 및 Coles(2001)에서 일부분을 가져왔거나 재수록했음을 밝힌다.
점추정값을 구하는 방법은 “적률법(moment mehod)”, “최대 우도 추정법(maximum likelihood method)”, “최소 제곱 추정법(least square method)”과 “L-적률 추정법” 등이 있다. 여기서는 극한 모형의 추정에 자주 사용하는 L-적률법과 최대 우도 추정법에 대해서 설명한다.
최대 우도 추정법은 모집단의 분포가 미지의 모수를 갖는 임의의 확률밀도함수에 의해 정해지고, 이 함수의 형태를 알고 있는 것으로 가정하여 (일반적으로 도수 분포 형태를 육안으로 확인하여 이미 알려진 확률 밀도 함수 가운데 하나를 선택한다) 모수를 추정하는 방법이다.
1.1.1 최우추정법
확률변수에서 추출한 확률 표본 이 관측값을 가진다고 가정하자. 이산 확률 변수의 경우, 표본의 “우도(likelihood)” 은 주변 확률들의 곱이다.
여기서 이다. 연속 확률 변수의 경우, 표본의 우도는 주변 밀도 함수들의 곱이다.
어떤 경우이든지 모수 의 최대 우도 추정값(MLE)을 찾기 위해서는 우도 를 최대로 해야 한다. 우도 은 모수 만의 함수이므로 이 함수를 “우도 함수(likelihood function)”라고도 한다.즉, 최대 우도 추정법은 우도 함수 의 값을 최대로 하는 통계량를 모수의 추정량으로 결정하는 방법이다. 그리고 우도 함수의 최대값을 구할 때는 우도 함수 그대로 취급하는 것보다는 로그 형태로 전환하면 계산이 쉽다. 로그 함수는 단조 증가 함수이므로 와 로그 함수 는 동일한 값에서 최대값을 취하므로, 문제에 따라서 계산에 편리한 방법을 이용한다.
예를 들어, 다음 확률 밀도 함수를 갖는 와이블 분포의 모수 와 의 최대 우도 추정량을 구해보자.
먼저 라 두면, 위 식은 아래와 같이 변형된다.
따라서 와이블 분포의 우도 함수는
계산을 편리하게 하기 위해, 우도 함수 를 로그 변환하면
이다. 다시 로 치환하여 위의 로그 변환한 우도 함수를 정리하면 다음과 같다.
따라서 를 최대로 하는 를 찾으면, 그 값들이 주어진 관측값들에 대한 최적의 와이블 분포의 모수 추정값들이 된다. 와이블 분포와 같이, 2개 이상의 모수를 갖고 그들을 동시에 추정해야 할 경우에는 아래의 연립 방정식을 풀어서 구할 수 있다.
연립방정시의 해가 수학적으로 명확히 풀리지 않는 경우에는 수치적 최적화 기법을 적용하여 구한다. R 소프트웨어의 “ismev” 패키지에서는 “optim” 함수를 이용하여 MLE를 찾아낸다.
1.1.2 L-적률추정법
L-적률은 자료 및 확률분포의 형태를 특징짓는 값이거나 통계량이다. 이 L-적률에 대해 간략하게 기술하겠다. 주어진 확률변수와 분포에 대해 r차 적률은 로 정의한다. 이 적률을 일반화한 것이 확률가중적률(probability weghted moment: PWM)인데, 그 식은 다음과 같다[허준행(2016)].
L-적률은 PWM의 특별한 조합으로 얻어지는데, 다음 식을 이용한다.
r차 L-적률을 이라고 표기하면 이를 다음과 같이 순서통계량의 선형조합(linear combination)으로 정의되며 와 를 이용하여 구해진다[Wikipedia, L-moment].
여기서 은 의 분포로 나온 크기 n의 확률표본의 순서 통계량이고 은 개의 확률변수 중 번째 확률변수의 기댓값이다.
은 L-mean 혹은 L-location이라고 부르며 인 평균과 같다. 는 L-scale이라고 부르며 자료들이 얼마나 촘촘하게 있는지 알 수 있다. 표준편차인 에 대응되는 값이다. 는 비대칭 정도를 알 수 있다. 는 첨도와 관련이 있다. 이 식들을 이용하여 모집단의 L-적률비를 구하면 다음과 같다.