선형대수학 Express

제 1장 선형대수와 선형방정식

1.1 선형대수와 선형시스템
1.1.1 선형대수학
1.1.2 선형방정식과 선형시스템
1.2 선형방정식의 소거법
1.2.1 변수가 2개인 선형방정식의 소거
1.2.2 가우스 소거법
1.2.3 가우스-조단 소거법

제 2장 행렬

2.1 행렬과 행렬의 연산
2.1.1 행렬
2.1.2 행렬의 합과 스칼라 곱
2.1.3 행렬의 곱
2.2 특수한 행렬
2.2.1 대각행렬
2.2.2 항등행렬과 영행렬
2.2.3 전치행렬
2.2.4 대칭행렬과 교대행렬
2.2.5 삼각행렬
2.3 행렬의 기본 연산과 사다리꼴
2.3.1 행렬의 기본 연산
2.3.2 행 사다리꼴(Echelon Form)
2.3.3 계수(Rank)
2.3.4 행렬의 표현과 응용
2.4 컴퓨터 프로그램에 의한 연산
2.4.1 C프로그램에 의한 연산
2.4.2 MATLAB에 의한 연산

제 3장 행렬식

3.1 행렬식의 개념과 성질
3.1.1 행렬식의 개념
3.1.2 여인수에 의한 행렬식의 계산
3.2 행렬식의 일반적인 성질
3.2.1 행렬식의 성질들
3.2.2 기본 행 연산을 통한 행렬식의 계산
3.3 역행렬
3.3.1 역행렬의 정의와 성질
3.3.2 역행렬을 구하는 방법
3.3.3 수반행렬에 의한 역행렬
3.4 선형방정식의 해법
3.4.1 역행렬을 이용한 선형방정식의 해법
3.4.2 크래머의 규칙을 이용한 선형방정식의 해법
3.4.3 행렬식의 응용
3.5 컴퓨터 프로그램에 의한 연산
3.5.1 C 프로그램에 의한 연산
3.5.2 MATLAB에 의한 연산

제 4장 선형방정식의 해법과 응용

4.1 가우스 소거법을 이용한 선형방정식의 해법
4.1.1 첨가행렬로의 표현
4.1.2 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법
4.1.3 LU-분해법에 의한 선형방정식의 해법
4.2 선형방정식의 다양한 응용들
4.2.1 여러 가지 응용들
4.2.2 화학방정식에의 응용
4.2.3 교통 흐름에의 응용
4.2.4 마코프 체인에의 응용
4.2.5 암호 해독에의 응용
4.2.6 키르히코프 법칙에의 응용
4.3 C Program에 의한 선형방정식의 해법(가우스-조단 소거법)

제 5장 벡터

5.1 벡터의 개념과 표현
5.1.1 벡터의 개념과 표기법
5.1.2 평면상에서의 벡터
5.1.3 벡터의 크기와 기하학적 표현
5.1.4 단위벡터와 단위좌표벡터
5.2 벡터의 연산
5.2.1 벡터의 합과 차
5.2.2 벡터의 스칼라 곱
5.2.3 벡터의 성질
5.2.4 벡터의 응용
5.3 MATLAB에 의한 연산

제 6장 벡터공간

6.1 벡터공간과 선형독립
6.1.1 벡터공간과 부분공간
6.1.2 선형독립
6.2 생성(span), 기저(basis), 차원(dimension)
6.2.1 생성
6.2.2 기저
6.2.3 차원

제 7장 고유값과 고유벡터

7.1 고유값과 고유벡터
7.1.1 특성다항식과 고유값
7.1.2 고유값과 고유벡터
7.2 고유값의 성질과 응용
7.2.1 고유값의 성질
7.2.2 고유값과 고유벡터의 응용
7.3 MATLAB에 의한 고유값과 고유벡터

제 8장 벡터의 내적과 외적

8.1 내적
8.1.1 내적의 정의
8.1.2 내적의 성질과 직교
8.2 외적
8.2.1 외적의 정의
8.2.2 외적의 성질
8.2.3 외적의 응용
8.3 MATLAB에 의한 내적

제 9장 선형변환

9.1 선형변환의 개념과 함수
9.1.1 선형변환의 정의
9.1.2 함수와 선형변환
9.1.3 여러 가지 선형변환
9.1.4 변환의 표준행렬
9.2 선형변환의 응용
9.2.1 산업적 응용
9.2.2 그래픽 변환으로의 응용
9.2.3 컴퓨터 그래픽에서 층밀림의 응용

머 / 리 / 말

눈부시게 발전하는 첨단 과학은 인간 사회와 문명을 더 나은 방향으로 급속하게 변화시키고 있다. 그 과학 발전의 핵심적인 요소가 바로 굳건한 수학적 바탕과 엄밀한 수학적 사고방식일 것이다. 수학은 정확하고 치밀한 사고력과 추상화를 통하여 복잡한 문제들을 효율적으로 해결해 내는 매우 뛰어난 방법론이기 때문이다.
선형대수학은 복잡한 수학적 체계를 배제하고 선형(linear)이란 제한된 영역에서 탐구하는 분야이다. 따라서 공학계열을 비롯하여 자연계열과 사회계열에서 유용하게 활용될 수 있으므로 더욱 친근하고 쉽고 효율적으로 접근할 수 있는 방법론이 요구되고 있다.
이 책의 목표 중의 하나는 논리적 증명보다는 선형대수의 기초를 이해하고 그것과 연관되어 활용할 수 있는 터전을 마련하는 것이다. 따라서 두꺼운 책 내용보다는 우리가 꼭 알아야 할 것들을 더욱 쉽게 이해할 수 있는 데 중점을 두었다. 미국과 국내에서 선형대수학과 관련된 저자의 오랜 경험과 상당 기간의 준비 과정을 거쳐 만들어진 이 책은, 많은 대학생들이 더 쉽게 선형대수학을 익히고 응용할 수 있도록 자세한 기본 개념과 보충 설명 및 삽화를 통하여 기초부터 차근차근 설명하고 있다.

이 책은 다음과 같은 주요 특징들을 가진다.

첫째, 쉽고 다양한 예제 풀이와 보충 설명을 통하여 상세하게 해설하였다. 어려운 수학 용어들도 자세하게 설명하였고, 쉽고 적절한 예제를 통하여 친근하게 접근이 가능하도록 노력하였다.
둘째, 선형방정식을 푸는 데 있어서 피벗 개념을 적용하여 핵심 논제들을 알기 쉽도록 설명하였다. 거의 모든 장에서 나오는 문제들을 피벗 개념으로 일관되게 설명하고 있어 누구나 비교적 쉽게 문제를 풀 수 있다.
셋째, 대화식 컬러 삽화를 통한 피드백 방법으로 핵심 개념을 익히는데 도움이 될 수 있도록 하였다. 또한 적절한 문답을 통하여 자연스럽게 배경과 개념에 접근할 수 있도록 시도하였다.
넷째, 문제 유형을 진위, 선택, 주관식, 도전 문제 등 다양하고 풍부하게 제시하여 문제에 접근하는 데에 친근감을 높였다.
다섯째, 여러 분야들에 적용이 가능하도록 다양하고 적절한 응용의 예들을 다루었고, 전기 및 전자, 화학, 사회학, 경제학 등 다양한 분야에서의 응용으로 폭을 넓혔다.
여섯째, 선형 문제를 효율적으로 풀기 위한 방법인 C Program과 MATLAB을 통한 실습 예제를 실었다. 일일이 손으로 계산하지 않고 소프트웨어를 활용함으로써 다방면에서의 활용이 가능할 것이다.

이 책의 주요 내용은 다음과 같다.

제1장에서는 선형대수와 선형방정식에 관한 것을 다루었다. 선형대수를 학습하는 필요성과 응용 분야들을 요약하고, 선형결합, 해집합, 선형시스템, 동차시스템 등을 정의하였으며, 특히 그래프를 통한 3가지 해의 경우를 설명하고, 가우스 소거법과 가우스-조단 소거법을 고찰하였다.
제2장에서는 행렬과 관련된 전반적인 주제들을 다루었다. 행렬을 정의하고 행렬의 연산, 특수한 행렬, 행렬의 기본 연산과 행 사다리꼴, 계수, 행렬의 표현과 응응 등을 살펴보았으며, C 프로그램에 의한 연산과 MATLAB에 의한 연산들을 고찰하였다.
제3장에서는 행렬식과 관련된 사항들을 다루었다. 행렬식의 개념과 여인수를 설명하고, 행렬식의 일반적인 성질들을 살펴보았다. 역행렬과 그것을 이용한 선형방정식의 해법, 크래머의 규칙을 통한 응용 및 C 프로그램에 의한 연산과 MATLAB에 의한 연산들을 고찰하였다.
제4장에서는 선형방정식의 해법과 응용을 주제로 다루었다. 가우스 소거법을 사용하여 첨가행렬을 이용한 선형방정식의 해를 구하는 방법에 관해 살펴보았다. 또한 화학방정식, 교통 흐름, 마르코프 체인 등 선형방정식의 다양한 응용을 고찰하였으며, C 프로그램으로 가우스-조단 소거법을 실습하였다.
제5장에서는 벡터와 관련된 전반적인 논제들을 다루었다. 먼저 벡터의 개념과 표현 방법을 설명하고, 평면상에서의 기하학적인 벡터 표현을 살펴보았다. 또한 벡터의 연산에서는 벡터의 합과 차, 그리고 스칼라 값을 정의하고 벡터의 응용 사례를 고찰하였으며, MATLAB에 의한 벡터의 연산도 실습하였다.
제6장에서는 벡터공간과 관련된 주요 사항들을 다루었다. 벡터공간에서의 부분공간과 선형독립 및 선형종속의 의미를 살펴보았고 예제를 통하여 본질적인 개념에 접근할 수 있도록 하였다. 또한 벡터공간에서의 생성, 기저, 차원을 다루었다.
제7장에서는 고유값과 고유벡터와 관련된 전반적인 논제들을 다루었다. 특성다항식과 특성방정식을 통하여 고유값과 고유벡터를 구하는 법을 예제를 통해 살펴보았고, 고유값과 고유벡터의 응용을 고찰하였다. 또한 MATLAB을 통하여 고유값과 고유벡터를 구하는 방법을 살펴보았다.
제8장에서는 벡터의 내적과 외적에 관련된 주제들을 중심으로 설명하였다. 내적을 정의하고 내적의 성질과 직교를 알아보았다. 또한 벡터의 외적의 정의와 응용들을 다루었으며, MATLAB에 의한 내적 구하기도 살펴보았다.
제9장에서는 선형변환과 관련된 논제들을 설명하였다. 함수를 통해 선형변환의 개념을 정의하였고, 여러 가지 선형변환과 표준행렬에 의한 변환을 고찰하였다. 또한 선형변환의 응용으로 산업적 응용, 그래픽 변환으로의 응용, 층밀림의 응용 등을 고찰하였다.

이 책의 머리말을 쓰는 지금 한동안 바쁘게 지냈던 순간순간들이 떠오른다. 이 책을 통해 많은 사람들이 선형대수학과 관련된 다양한 논제들을 쉽게 이해할 수 있는 계기가 되기를 바란다.
끝으로, 이 책이 완성되기까지 따뜻한 사랑으로 격려해 준 아내 동옥씨와 사랑하는 혜진, 경동, 진규를 비롯한 가족들, 그리고 주위의 많은 분들께 감사드린다. 또한 편집을 도와준 오지훈 군과 이책의 출판을 위해 적극적으로 후원해 주신 생능출판사의 김승기 사장님을 비롯한 임직원 여러분들께도 크나큰 감사의 마음을 전한다.

2010년 가을을 기다리며

金大洙