현대대수학

머리말
교수에게
학생에게
핵심 과정의 주제별 목차표

PART 1 핵심 과정
CHAPTER 1 ℤ에서 산술의 재구현
1.1 나눗셈 알고리즘
1.2 나누어지는 성질
1.3 소수와 인수분해의 유일성

CHAPTER 2 ℤ에서의 합동관계와 모듈러 산술
2.1. 합동과 합동류
2.2 모듈러 산술
2.3 ℤ_p(p: 소수)와 ℤ_n의 구조

CHAPTER 3 환(Rings)
3.1 환의 정의와 예
3.2 환의 기본성질
3.3 동형사상과 준동형사상

CHAPTER 4 F[x]에서의 산술
4.1 다항식의 산술과 나눗셈 알고리즘
4.2 F[x]에서 나누어지는 성질
4.3 기약 다항식과 인수분해의 유일성
4.4 다항함수, 근과 가약성
4.5* ℚ[x]에서의 기약성
4.6* ℝ[x]와 ℂ[x]에서의 기약성

CHAPTER 5 F[x]에서의 합동관계와 합동류 산술
5.1 F[x]에서의 합동과 합동류
5.2 합동류 산술
5.3 p(x)가 기약일 때 F[x]/(p(x))의 구조

CHAPTER 6 아이디얼과 몫환
6.1 아이디얼과 합동관계
6.2 몫환과 준동형사상
6.3* I가 소이거나 극대일 때 R/I의 구조

CHAPTER 7 군(groups)
7.1 군의 정의와 예
7.1.A 군의 정의와 예
7.2 군의 기본성질
7.3 부분군
7.4 준동형사상과 동형사상
7.5* 대칭군과 교대군

CHAPTER 8 정규부분군과 몫군
8.1 합동관계와 Lagrange 정리
8.2 정규부분군
8.3 몫군
8.4 몫군과 준동형사상
8.5* A_n의 단순군 증명
(* 핵심과정에서 *로 표시된 절은 생략하거나 뒤로 미룰 수 있다. 자세한 내용은 각 절의 시작 부분 참조.)

PART 2 고급 주제
CHAPTER 9 군 이론의 주요 주제
9.1 직접곱
9.2 유한 Abel 군
9.3 Sylow 정리
9.4 켤레관계와 Sylow 정리의 증명
9.5 유한군의 구조

CHAPTER 10 정역에서의 산술
10.1 Euclid 정역
10.2 주아이디얼 정역과 유일인수분해 정역
10.3 2차 정수의 인수분해
10.4 정역의 분수체
10.5 다항식의 정역에서 인수분해의 유일성

CHAPTER 11 체의 확장
11.1 벡터공간
11.2 단순확대체
11.3 대수적확대체
11.4 분해체
11.5 분리가능성
11.6 유한체

CHAPTER 12 Galois 이론
12.1 Galois 군
12.2 Galois 이론의 기본정리
12.3 거듭제곱근으로의 풀이가능성

PART 3 둘러보기 및 응용
CHAPTER 13 공개키 암호

CHAPTER 14 중국인의 나머지정리
14.1 중국인의 나머지정리의 증명
14.2 중국인의 나머지정리의 응용
14.3 환에 대한 중국인의 나머지정리

CHAPTER 15 기하학적 도형의 작도

CHAPTER 16 대수적 코딩이론
16.1 선형코드
16.2 코드복원화 기법
16.3 BCH 코드

PART 4 부록
Appendix A 논리와 증명
Appendix B 집합과 함수
Appendix C 정렬성과 수학적귀납법
Appendix D 동치관계
Appendix E 이항정리
Appendix F 행렬대수
Appendix G 다항식

참고문헌
선택된 홀수 번호 연습문제의 풀이 및 힌트
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