10대를 위한 기하 수학의 세계

책을 펴내며
제0장 환영

제1장⎮각의 기하학 : 직선, 각, 직각, 맞꼭지각, 동위각, 엇각, 평행
직각, 예각, 둔각⎮맞꼭지각⎮삼각형의 세 내각의 합, 삼각형의 외각⎮평행

제2장⎮합동의 기하학 : 삼각형, 합동, 합동 조건(SSS, SAS, ASA), 이등변삼각형
삼각형⎮삼각형 포개기⎮삼각형의 합동⎮삼각형의 합동 조건: SSS 합동⎮삼각형의 합동 조건: SAS 합동⎮삼각형의 합동 조건: ASA 합동 그리고 이등변삼각형

제3장⎮닮음의 기하학 : 닮음, 다각형의 닮음, 닮음비, 삼각형의 닮음 조건
그림자와 닮음⎮다각형의 닮음⎮닮음비⎮삼각형의 닮음 조건

제4장⎮넓이의 기하학 : 삼각형·다각형·원·부채꼴의 넓이
삼각형의 밑변과 높이⎮삼각형의 넓이⎮다각형의 넓이⎮원의 넓이

제5장⎮직각삼각형의 기하학 : 직각삼각형, 피타고라스 정리, 피라미드, √2
연못의 직각삼각형⎮피라미드의 직각삼각형⎮바빌론의 직각삼각형⎮중국의 직각삼각형⎮증명

제6장⎮원의 기하학 : 원의 중심, 현, 삼각형의 외심, 원주각과 중심각, 원의 접선
원의 중심 찾기: 첫 번째 방법⎮원의 중심 찾기: 두 번째 방법⎮원의 중심과 현⎮삼각형의 외심⎮중심각과 원주각⎮원의 접선

제7장⎮삼각비의 기하학 : 삼각비 sin, cos, tan, 삼각비의 성질, 삼각비의 표
합동, 닮음, 넓이를 넘어서⎮직각삼각형의 높이⎮삼각비 sin의 탄생⎮삼각비 사인 표 만들기⎮삼각비 코사인 표 만들기⎮삼각비 탄젠트의 표⎮sin(각) = cos(90°-각)

제8장⎮입체의 기하학 : 삼각비의 활용, 정다면체, 회전체, 각기둥과 각뿔, 기둥과 뿔의 부피, 구의 부피
삼각비의 활용⎮정다면체⎮정다면체가 품은 비밀⎮각기둥⎮각뿔, 원기둥, 원뿔, 구⎮회전체⎮각기둥, 각뿔의 부피⎮원기둥, 원뿔, 구

제9장⎮안녕

인류는 기하를 꾸준히 연구하고 발전시켜 왔습니다. 기하 덕분에 거대한 피라미드를 세우고, 지구 전체의 지도를 만들고, 지구에 앉아서 태양까지의 거리를 잴 수 있게 되었죠. 도형의 각과 길이와 형태를 모르면 그런 건 전혀 할 수 없거든요! 덕분에 지금은 GPS의 도움을 받아 모르는 길을 찾고, 무선으로 소리와 영상을 보내고, 태양계의 바깥으로 우주선을 보내게 된 거랍니다. (중략)
기하는 참 오래된 학문이기도 해요. 아무리 적게 잡아도 3천 살은 되었습니다. 수학의 성경이라고 불리는 유클리드의 《원론》이 세상에 나온 지 2천3백 년은 족히 되었고, 그보다 훨씬 전부터 인류가 도형을 두고 생각한 증거가 꽤 많거든요. 사실 기하의 나이는 무한대죠. 가장 단순한 도형, 직선을 가지고 한번 생각해 볼까요. 직선은 언제 생겼을까요? 또 언제부터 인류는 ‘직선’이란 ‘개념’을 생각하게 되었을까요? 이렇게 생각하면 기하의 나이가 무한대라는 걸 바로 알아차릴 수 있습니다.
-「책을 펴내며」 중에서

“아래에 있는 두 막대가 직선으로 있다고 가정했으니까… 좋았어. 내가 제대로 이해했는지 들어 줄래? 직각은 곧바르게 선 각의 크기다. 그래서 어느 쪽으로도 기울지 않았다. 즉, 한 직선 위에 다른 직선이 서서 두 각이 서로 이웃할 때 왼쪽 각과 오른쪽 각의 크기가 같으면 두 각도 모두 직각이다. 어때?”
셋은 동시에 고개를 끄덕였다. 니콜이 나지막한 목소리로 말했다.
“직각은 어느 쪽으로도 기울지 않은 각의 크기다. 그래서 건물도 직각으로 세우고 우리도 직각으로 서 있는다. … 이 두 막대가 직선으로 놓였다는 것을 어떻게 확인할 수 있을까?”
-「제1장 | 각의 기하학」 중에서

이솝: 그러면 삼각형은 세 변, 세 꼭짓점, 세 각으로 결정되겠군요.
유클리드: 핵심만 골라 잘 요약했군요! 자, 이제 두 삼각형이 합동인지 어떻게 알까요? 삼각형은 세 변, 세 꼭짓점, 세 각으로 결정된다고 했지요? 거기에 답이 있는 것 같은데요?
(중략)
이솝: 세 변의 길이가 모두 같고 세 각의 크기가 모두 같으면 됩니다. 점, 직선, 각은 어디에 있든 상관없지만 크기가 같다면 완전히 포개질 테니까요. 점은 크기가 없으니 세 변과 세 각을 확인하면 됩니다!
유클리드: 훌륭합니다. (중략) 세 변의 길이와 세 각의 크기가 모두 같으면 겹쳐질 수밖에 없습니다. 그것들이 삼각형을 결정하니까요. 이제 질문을 약간 다르게 해 보겠습니다. 여섯 가지 요소(세 변, 세 각)를 모두 알아야 할 필요 없이 그중 일부만 알아도 되지 않을까요?
-「제2장 | 합동의 기하학」 중에서