발칙한 수학책

감수의 글_발칙한 수학 스토리텔러의 발칙한 수학책!
들어가며_수학에 대한 오해

1부 순수한 별이 빛나는 수학의 밤하늘
1. 수학의 언어와 문법
엄밀함과 명료함은 수학의 생명
수학의 뼈대를 이루는 12개의 기호
논리 기호로 오목과 볼록을 표현해 보자!
과연 디멘의 주장은 맞았을까?

2. 빨대 구멍의 개수는 1개일까, 2개일까?
빨대를 조물조물
구멍 개수의 정의
* 뫼비우스 띠의 구멍 개수는?
‘조물거리다’의 정의

3. 수학의 탑 1층에는 공리가 있다
의미 없는 단어에서 의미를 만드는 방법
건반을 두드린다고 음악이 되는 건 아니다
유클리드 기하학과 비유클리드 기하학
괴델의 불완전성 정리
* 인간의 이성을 표현하는 12개의 추론 규칙

2부 자유로운 구름이 떠다니는 수학의 들판
1. 차원의 한계를 수학으로 넘어서기
아르센의 보물 훔치기
아르센의 보물 훔치기-속편
4차원 공이 3차원에서 굴러다닌다면?
4차원을 그리는 방법
가장 단순한 4차원 도형은?
우주의 모양을 탐험하다

2. 무한을 넘어, 더 무한한 무한으로
무한호텔에 어서오세요
모든 무한이 같지는 않다
셀 수 없을 정도로 큰 집합
연속체 가설과 알레프 수
완두콩으로 태양을 덮는 방법
* 수학계의 뜨거운 감자, 선택공리

3부 보물이 숨어 있는 수학의 숲
1. 문제 속에 감춰진 비둘기를 찾아서
보물이 숨어 있는 수학의 숲
두 개의 문제, 하나의 원리
* 생일이 같은 사람이 존재할 확률
정사각형과 비둘기 집
* 피타고라스 정리
두 번째 보물

2. 머그잔 안, 계핏가루의 왈츠
어린 시절의 소소한 탐구
갑자기 분위기 색칠놀이
슈페르너의 여행
증명의 클라인맥스
머그잔이 원형이라면?
커피의 숲을 떠나며 쓰는 기행문

3. 지구 정반대에 있는 인연을 찾아서
지구를 관통하는 터널
돌아온 도적 아르센
기온이 동일한 두 대척점이 존재할까?
* 흔들리는 탁자를 고치는 방법
보르수크-울람 정리
목걸이 문제에 숨어 있는 보르수크-울람 정리
* 해석기하가 처음인 분들을 위해
다시, 증명의 클라이맥스
마지막 떡밥

4부 수학의 눈으로 바라본 세상
1. 가장 효율적인 방법을 찾아서
비행기 탑승은 너무 느려
1,000권의 책을 정렬하라고요?
반으로 쪼개고 쪼개고 쪼개기
책을 가장 빠르게 정렬하는 방법
P vs. NP 문제
남의 떡이 작아 보이도록 분배하기

2. 인생은 게임이고, 게임은 수학이다
스타벅스 옆에는 커피빈이 있더라
죄수의 딜레마와 담배 회사
각설탕을 찾으러 간 마카롱과 찹쌀떡
도로를 더 만들었는데 교통체증이 심해진다?
* 찾을 수는 없지만 존재하는 것들

3. 실용적인 수학의 최고봉, 미적분
변화율로부터 미래를 예측하기
미분의 핵심 원리
* 적분의 핵심 원리
바이러스를 조금 더 잘 예측해 보자

4. 카오스 속에서 미래를 내다보는 수학
수학과 물리학이 창조한 신-라플라스의 악마
천체를 계산하나 수도꼭지의 물줄기는 계산하지 못하다
시치미 떼는 입자와 확률적 우주
절대로 예측할 수 없는 것에 대해

부록

감수의 글_발칙한 수학 스토리텔러의 발칙한 수학책!

이 책은 발칙하다. “하는 짓이나 말이 매우 버릇없고 막되어 괘씸하다”라는 뜻이 이 책에는 자연스럽게 연결된다. 수학을 다루는 저자의 솜씨와 생각은 시중에 나와 있는 다른 수학 교양서적에서는 결코 찾아볼 수 없다. 어떠한 규칙 없이 이리저리 글을 진행하는 것 같고, 전혀 관계 없는 수학 이론을 마구잡이로 도입하는 것만 같지만 페이지를 넘길수록 수학의 깊이 있는 모습을 마주하게끔 만든다. 모든 수학 내용이 마치 날줄과 씨줄처럼 정교하게 얽혀 있는 덕분이다. 매우 창의적이며 융합적이라는 데 의심의 여지가 없다.
독자는 이 책을 읽는 종종 머뭇거릴 수 있다. ‘도대체 지금 내가 무엇을 읽고 있는 것일까’ 하지만 인내심을 갖고 읽기를 지속한다면 저자가 펼쳐놓은 이야기가 점점 한 가지로 모여든다는 것을 깨닫게 될 것이다. 마치 넓은 바다에 거대한 그물을 던진 후 서서히 당겨 물고기를 잡듯, 저자는 거대한 수학의 그물을 바다에 던진 후 수학의 매력으로 독자를 끌어당긴다.
사실 이 책의 원고를 검토해달라는 의뢰를 처음 받았을 때만 해도 ‘대학생이 쓴 글이니 손봐야 할 부분이 많지 않겠어’라며 방대한 검토 내용을 어떻게 정리할지 망설였다. 하지만 내 생각은 원고의 1부 첫 장을 읽는 순간 기우였음을 인정하지 않을 수 없었다. 글은 마치 수학의 세계를 탐험하기 위해 발사된 우주선처럼 수학의 여러 행성을 아주 안전하고 매끄럽게 지나 수학에 관한 저자의 생각에까지 너무나도 평안하게 도착했다. 수학에 관한 교양서적을 꽤 썼다고 자부하고 있는 나조차 ‘나는 왜 이렇게 생각하고 설명하지 못했을까’라는 자책마저 들게 되는 명쾌한 설명이 있었고 재미있게 처리된 삽화까지 곁들여져 내용을 단숨에 읽어낼 수 있었다.
이 글을 모두 읽고 난 이후에 가장 먼저 든 생각은 서두에서 말했듯이 발칙하다는 거였다. 그리고 잠시 숨을 고르고 감수의 글을 쓰려고 하자 마치 잘 차려진 코스요리를 맛있게 먹고 난 후의 만족감이 밀려왔다. 모두 4부로 이루어진 이야기는 간단한 음료로 시작해 애피타이저로 이어졌고, 셰프의 정성이 가득한 메인 요리를 거쳐 달콤한 디저트까지 정말 행복하고 만족스러운 코스요리를 대접받은 기분이었다. 그래서 감히 독자 여러분에게도 잘 차려진 이 코스 요리를 강력히 권하고 싶다.

세상에 수학 요리를 이렇게 맛있게 만들어낼 수 있는 요리사는 흔치 않다. 그것도 아주 젊은 수학자가 쉽지 않은 요리 재료를 이 정도의 글과 내용으로 요리할 수 있음은 실로 놀라운 일이다. 앞으로 저자의 또 다른 책을 기대하게끔 하는 매우 훌륭한 결과물이기에 나는 이 책에 대해 권하고 또 권한다는 말밖에 더 이상 할 말이 없다.
그래서 나는 이 책에 어떤 내용이 어떻게 소개되고 있는지를 구태여 설명해 스포일러가 되지 않기를 바란다. 다만 저자의 말대로 1부에서는 주로 수학의 언어를 규정했고, 2부에서는 수학의 힘을 통해 고차원과 무한 등 현실을 초월하는 개념을 다루었으며, 3부에서는 이런 논리적 추론을 다양한 문제에 적용해 4부에서는 실생활에 적용했다는 정도만 소개하겠다.
장담하건대 독자 여러분이 이 책을 다 읽고 나면, 대단한 수학 스토리텔러가 혜성처럼 등장했음을 알아차림과 동시에 아주 젊은 수학자가 새로운 시대의 문을 여는 순간에 서 있음을 느끼게 될 것이다. 모두 이 순간을 지켜보기 바란다.

이광연, 《수학, 인문으로 수를 읽다》 저자

수학은 어떤 학문일까요? 우리 모두 학교에서 수학을 공부했지만, 아이러니하게도 수학이 어떤 학문인지 정확히 이해하고 있는 사람은 매우 드뭅니다. 너무 많은 사람이 수학이 숫자를 계산하는 학문이라고 오해하고 있기도 하죠. 이러한 오해는 미디어에서 뚜렷이 나타납니다. 영화와 드라마 속 대부분의 수학 천재는 복잡한 계산을 순식간에 해치우는 인간 컴퓨터처럼 그려집니다. 이들은 농구공을 던지기 직전 머릿속으로 농구공의 질량과 중력가속도 등을 계산해내 완벽한 3점 슛을 성공시킵니다. 하지만 수학자들이 계산을 잘할 것이라는 생각은 피아니스트가 피아노를 잘 만들 것이라는 생각과 다를 바가 없을 정도로 큰 착오입니다. 오히려 순수수학은 자연과학부에서 계산이 가장 필요 없는 분야 중 하나입니다.
이 오해는 사람들이 수학을 지루한 계산과 어려운 숫자로 가득찬 학문으로 생각하고 기피하도록 만든다는 점에서 특히 유감스럽습니다. 수학은 절대 이러한 학문이 아닙니다. 이 책에 복잡한 숫자 계산이 하나도 없는 이유입니다.

모든 언어는 기호와 문법으로 이루어져 있습니다. 영어는 라틴 알파벳, 한국어는 한글, 중국어는 한자라는 기호를 사용하죠. 이 기호를 각 언어의 문법에 알맞게 배열하면 문장이 완성됩니다. 마찬가지로 수학도 몇 가지의 기호와 문법으로 이루어져 있습니다. 정확히 말하자면, 수학은 단 6개의 기호와 12개의 추론 규칙, 그리고 적절히 정의된 공리계로 이루어져 있는 언어입니다.
다만 수학이 다른 언어와 구별되는 유일한 점은, 일상생활에서 서로가 소통하기 위한 언어가 아니라 논리적 추론을 기술하기 위한 언어라는 점입니다. 그리고 논리적 추론이 가능하기 위해서는 모든 문장의 참과 거짓을 확실히 판별할 수 있어야 합니다. 한 치의 애매함도 없이 말이죠.