수학의 숨은 원리

들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

기하
직사각형의 넓이. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
직사각형의 넓이와“ 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙” . . . . . . . . . . . . . 9
직각삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
다양한 모양의 삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
피타고라스의 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
좌표평면 위 삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

수와 연산
수 표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
더 큰 수 표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
제곱해서 2가 되는 양수는 어떻게 표기할 것 인가? . . . . . . . . . . . . . . 27
분수와 소수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
많은 수을 지칭하기: 조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
도대체√ 2는 무엇인가?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
대범한 시도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
귀류법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
허수 I의 출현 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
(−1) × (−1)은 왜 1인가? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1을 0으로 나누면? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
제곱근을 포함한 두 수의 대소 비교1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
제곱근을 포함한 두 수의 대소비교2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
제곱근을 포함한 두 수의 대소 비교3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
분모의 유리화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

대수
변수를 활용하기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
변수를 포함한 식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
자연수의 덧셈(결합법칙과 교환법칙). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
항등식을 증명하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

대수: 방정식
방정식: 들어가기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
양변에 공통적인 요소를 확인한다 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
조금 복잡한 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
더욱 복잡한 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
반복되는 요소를 찾아서 없애라. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
미지수가 하나인 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기. . . . . . . . . . . . . 104
미지수가 하나인 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기 2 . . . . . . . . . . . . 106
역원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
미지수가 하나인 1차 방정식: 부정 또는 불능 . . . . . . . . . . . . . . . . 109
미지수가 하나인 1차 방정식: 정리. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
연립 1차 방정식: 연결점을 설정하자. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
연립 1차 방정식: 연결점 x + y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
연립 1차 방정식: 연결점 설정의 고려사항 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
연립 1차 방정식: 연결점 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
미지수가 두 개인 연립 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기 . . . . . . . . . 120
미지수가 두 개인 연립 1차 방정식: 마무리 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
미지수가 3개인 연립 1차 방정식: 연결점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
동치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
동치와 사칙연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
동치와 연립 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2차 이상의 방정식. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2차 이상의 방정식 풀기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

대수: 인수분해
인수분해: 들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
갤러리: 다항식의 그래프. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
인수분해의 기초: 반복되는 요소를 찾아라. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1차 다항식의 인수분해: (부분적으로) 반복되는 요소를 찾아라 . . . . . . . 150
인수분해와 변수의 개수. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
변수가 하나인 3차 다항식의 인수분해: 계수의반복 . . . . . . . . . . . . 158
계수에서 공통요소를 찾아라(변수가 하나인 3차 다항식) . . . . . . . . . . 162
문제를 푸는 2가지 방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해: 실수 계수 . . . . . . . . . . . . . . 172
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해: 방정식의 해. . . . . . . . . . . . . 175
인수분해와 방정식의 해. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
공식의 재활용: “변수+상수” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
변수가 하나인 3차 다항식의 인수분해: 복습. . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3차 다항식의 인수분해: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
변수가 둘인 3차식의 인수분해 공식 유도 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
변수가 둘인 3차식의 인수분해 공식 유도 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
의 인수분해 공식 유도 . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 복이차식 1 . . . . . . . . . . . . . 190
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 복이차식 2 . . . . . . . . . . . . . 193
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 반복적인 계수 . . . . . . . . . . . 198
변수의 개수를 줄이자 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
변수의 개수를 줄이자 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
최고차수를 줄이자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

대수: 부등식
미지수가 하나인 1차 부등식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
부등식과 음수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
미지수가 하나인 1차 부등식의 해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2차 이상의 부등식. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
미지수가 하나인 2차 부등식의 해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
산술평균, 기하평균 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
산술평균, 기하평균 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

에필로그

많은 수을 지칭하기 : 조건

우리가 이상형을 말할 때

친구들과 이런 얘기를 자주 한다.
“넌 이상형이 누구야?” 혹은 “넌 이상형이 뭐야?”
우리가 이상형을 얘기할 때, 실존하는 인물을 예로 들어 얘기하거나(“나는 아무개가 좋아”), 이상형이 갖추어야 할 조건(“나는 키 작고 통통한 애가 좋아.”)을 얘기하기도 한다.
그런데 그런 기준이 어떻게 생겼을까? 아마도 이제껏 만났던 사람들의 공통 분모를 찾아낸 게 아닐까?
‘나는 소라, 민정, 미희를 좋아하니까 활발한 성격을 좋아하나봐.’
아니면 상상 속의 인물에서 가져온 것일 수도 있겠다. 예를 들면, 백마 탄 왕자? 신데렐라?
그런데 여기서 ‘내 이상형은 아무개야’라고 말하는 것보다 ‘내 이상형은 예쁘고 착한 여자야.’라고 말하면 장점이 있다. 예쁘고 착한 여자는 무수히 많다. 반면에 아무개는 한 명이다.
보통 이상형에 부합하는 사람은 은근히 많다. 좋아하는 사람을 열거해보자. 하지만 지구에는 70억여 명이 살고 있다. 내가 모르는 사람 중에도 이상형에 부합하는 사람이 있을 것이다. 따라서 그 사람들을 모두 열거하는 것은 불가능하다.
반면에 이상형의 조건 혹은 특징을 얘기한다면 간단하게 정리할 수 있다. 예를 들어 “활발한 성격의 사람”, “예쁘고 착한 사람” 등이 가능하다. “예쁘고 착한 사람”은 내가 만나 본 사람 뿐 아니라 내가 만난 보지 못한 사람들까지 포함된다.

왜 뜬금없이 조건을 활용하여 대상을 지칭하는 방법에 대해 얘기를 하는가? 사실 조건을 활용하는 방법에 특별히 어려운 점은 없다. 하지만 수학에서 맥락도 없이 등장하거나, 기호 속에 묻혀 있다면 당황할 수도 있다.

예를 들어, 집합을 처음 배울 때 이런 내용을 배운다.
“집합 A와 집합 B가 같다”는 “집합 A가 집합 B에 속하고, 집합 B가 집합 A에 속한다”는 의미이다.

A = B　A⊂B,A⊃B

근데 이게 도대체 무슨 소리야? 그리고 왜 그래야 하는 거지?
“집합 와 가 같다.”는 것을 어떻게 확인하는가?(혹은 증명하는가?) 집합은 원소에 의해 결정된다.

A={3k, k = 1,3}
B={3k, k = 1,2}

집합 와 집합 는 서로 다른 방식으로 정의되었지만, 동일한 원소를 가지고 있으므로 동일한 집합이다.
원소나열법으로 집합 와 집합 를 나타내면 이 두 집합이 동일함을 확인할 수 있다.

A={3,9}
B={3,9}

이렇게 두 집합이 동일함을 보이려면 두 집합을 원소나열법으로 표시하면 된다. (식은 죽 먹기다.)
원소나열법의 첫 번째 문제: 원소의 개수가 무한히 많을 때 집합의 원소가 많다면, 두 집합이 같다는 것을 확인하는데 시간이 오래 걸리지만 불가능한 것은 아니다. 충분한 시간이 주어진다면 말이다.
하지만 원소의 개수가 무한히 많을 때는 어떠한가? (하략)

직사각형의 넓이는 두 변의 길이를 곱한 값이다.