Big Questions 수학

머리말 7
고전기 이전의 수학 ★13
선사시대 산술 14
수를 표현하는 방법 23
고대 이집트 26
이집트 수학의 특성 30
기본 도형 39
고대 인도 수학 43
산술 46
바빌로니아 문명 48
바빌로니아 수학 54
진법에 관하여 57
원 60
스톤으로 만든 원과 신성 기하 66
r의 역사 70

고대 그리스 수학 ★77
피타고라스: 수학을 발견하다 78
지수 또는 거듭제곱 87
소수 90
피타고라스의 정리 95
그리스 수학 98
입체도형 104
유클리드와 원론 107
아르키메데스 112
에라토스테네스:
지구를 측정한 사서 119

중세 수학 ★123
중세 인도 수학 124
인도-아라비아 수체계 130
0의 간략한 역사 133
대수학의 도입 136
지혜의 집: 수학과 중세 이슬람 142
삼각법의 도입 148
알 콰리즈미 152
중세 유럽 수학 158
베네치아의 회계법:
루카 파치올리와 회계수학 167
피보나치 170
황금비 176
자연 속 수학 179

르네상스와 혁명 ★183
르네상스 유럽 184
삼차방정식 문제 187
여왕의 마술사: 존 디 192
로그함수 197
과학혁명 200
갈릴레이 206
데카르트:
수학 vs 속임수를 잘 쓰는 악마 210
그래프와 좌표 214
페르마와 그 정리 217
가능성의 문제 220
파스칼과 파스칼의 삼각형 224
미적분: 뉴턴과 라이프니츠 229
접선의 기울기와 도함수 235
극한 240
오일러 244

근대를 향해 ★249
통계학 250
무한 그리고 그 너머 253
기계 수학 256
앨런 튜링 260
죄수의 딜레마: 게임이론 264
존 내시 268
카오스이론 271
나의 뇌는 열려 있다:
폴 에르되시 275

찾아 보기 278

[머리말]

카를 프리드리히 가우스가 일곱 살 때, 선생님이 학생들에게 1부터 100까지의 수를 모두 더하라는 문제를 냈다. 그런데 얼마 지나지 않아, 어린 가우스가 정답을 말하자 선생님은 깜짝 놀랐다. 가우스가 서번트 증후군(컴퓨터 만큼이나 빠른 속도로 모든 수를 일일이 더하여 계산하는 자폐성 장애)이라도 앓고 있었던 것일까?
사실 가우스는 수학 천재이자 신동으로, ‘수학의 왕자’라 불리기도 했다. 어린 가우스는 1+2+3+…+100과 같이 일일이 더하여 계산하는 고되고 지루한 방법이 아니라, 한순간의 놀라운 통찰력으로 문제를 해결했다. 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, … 50+51=101이 되기 때문에 1에서 100까지의 수들의 합이, 더해서 101이 되는 50쌍의 수들의 합이 된다는 것을 알아내고 50×101을 계산한 것이었다. 가우스가 짧은 시간만으로 5050이라고 정답을 말했을 때 선생님의 놀라움은 컸다.
여러분도 비슷한 방식으로 친구들을 놀라게 할 수 있다. n개의 연속하는 수들로 이루어진 임의의 수열의 합은 이 수열의 첫 번째 항의 값과 마지막 항의 값을 더한 값에 을 곱하면 된다. 즉 1에서 20까지의 수들의 합은 ×(1+20)=10×21=210이 된다.
교묘한 속임수?
이것은 교묘한 속임수일까? 아니면 그것을 넘어서는 또 다른 무엇인걸까? 가우스가 보여준 관찰은 심오한 의미의 세계를 엿보게 한다. 그 세계에서 수들은 순전히 사고만으로 알아챌 수 있는 눈에 보이지 않는 법칙인 순서 관계에 따라 다루어진다. 이것이 가우스가 ‘과학의 여왕’이라고 한 수학의 세계다. 역사 속 많은 위인들이 가우스와 같은 생각을 했다. 비록 종교적 관점이나 혹은 과학적 관점으로 수학의 세계에 접근했다 하더라도, 자연철학자들은 항상 수학을 우주에서 가장 순수하고 가장 심오한 형태의 진리와 아름다움이라고 여겨왔다. 고대 그리스인들은 수학이 우주를 이루는 기초였다고 믿었다. 엘리자베스 왕조 시대의 수학자이자 점성술사인 존 디는 수학을 창조자의 가장 강력한 도구로 보고, “서로 다른 모양의 모든 피조물들은 순서 그리고 대부분의 무명수에 의해 아무것도 아닌 하찮은 것에서 그것들의 존재와 상태의 형식이 갖춰지도록 한다”고 말했다. 또 이탈리아 수학자이자 과학의 선구자인 갈릴레오 갈릴레이는 “누군가가 먼저 책에 쓰인 언어를 이해하기 위해 배우지 않으면(우주에 관한) 그 책을 이해할 수 없다. 그것은 수학의 언어로 쓰여 있다……”고 주장했다.
우리는 이미 모두 생활수학자들이다
현대 수학은 기하학, 대수학 등의 익숙한 분야에서부터 위상기하학(연속성의 수학, 때때로 고무판 기하학이라고도 불린다)이나 조합론(선택 및 배열과 순서 문제와 관련된 수학 분야) 같은 소수의 전문가들만 알고 있는 것들까지 적어도 30가지의 서로 다른 분야들을 망라하고 있다. 현대 수학은 훨씬 전문화되고 복잡해져서 비전문가들은 다루기 힘든 분야가 되었다. 실제로 대부분의 사람들은 학교에서 배웠던 수학 대부분을 잊거나, 심지어 매우 두려워하는 소위 ‘수학 공포증’을 가지고 있는 이들도 있을 정도로 스스로 수학에 대해 매우 무지하다고 생각한다. 그러나 수들은 항상 우리 주변 어느 곳이든 존재한다. 이 사실을 인식하든 아니든 또 수리적 사고를 하든 그렇지 않든 우리는 일상생활에서 무의식 중에 양과 크기, 각과 벡터를 관련시키고 있는 일종의 ‘생활 수학자들’이다. 《빅 퀘스쳔 수학》은 매번 어떤 머핀이 더 큰지를 생각하고, 피자 한 판을 똑같이 여러 조각으로 나누며, 거스름돈을 세거나 시계를 보는 등 이미 수학자가 되어 있는 여러분을 위한 것이다.
고대수학에서 현대수학까지의 화려한 여행
이 책은 고대 초창기부터 과학기술이 급진적으로 발전한 오늘날에 이르기까지의 수학에 관한 흥미로운 이야기들을 다루고 있다. 선사시대 수 개념과 셈의 발달에서 시작하여 고대 바빌로니아인들, 이집트인과 그리스인들, 중세 이슬람과 유럽의 위대한 학자들이 발견한 것들과, 르네상스 시대의 발전 및 과학혁명을 거쳐 18~19세기의 거장들과 20세기 수학에 의해 열린 신세계에 이르는 수학의 진화 과정을 따라 전개하고 있다. 이와 관련된 흥미로운 이야기와 함께 가장 중요한 개념과 산술을 이해하기 쉽게 소개하고 기하학과 대수학, 삼각법과 마지막으로 미적분도 설명한다. 또 피타고라스에서 뉴턴, 피보나치에서 페르마까지 위대한 인물들의 획기적인 아이디어들과 엄청난 발견들을 비롯해 페르마의 마지막 정리에서 카오스이론, 프랙털까지 수학에서 가장 신비로워 보이는 것들과 난제들을 탐구한다.
수학의 매력은 황홀한 설득?!
《빅 퀘스쳔 수학》을 이해하는 데는 고도의 전문적인 수학 지식이 아닌, 기초 산술 및 상식만으로도 충분하다. 이 책은 수학의 역사적 발달 과정과 더불어 핵심 개념들을 자세히 소개하고 있으며, 보다 많은 배경지식과 소수, 기하학, 원, 그래프 등의 중요한 요소들에 대해서도 매우 구체적으로 설명하고 있다. 이를 토대로 삼각법 및 미적분과 같은 고급 수학 개념들을 다루고 있지만, 기호, 용어, 복잡한 기법들을 최소화해 설명했다.
이 책을 통해 호기심 가득한 화려한 수학 여행을 떠나보자. 코사인을 통해 사인을 알고, 이차방정식과 삼차방정식의 차이를 이해하며, 나아가 무한을 다루는 극한에 익숙해지고 자신이 세운 금자탑의 수준을 나타내는 단 구성법을 배우게 될 것이다. 그 과정에서 여러분은 고대 죽음의 광선, 욕실 안의 벌거벗은 남자, 독 사과와 시공간 연속체의 균열을 마주치게 될 것이다. 그리고 ‘황홀한 설득’이 바로 수학의 매력이라는 존 디의 말에 여러분도 동의하게 될 것이다.