Reset! 리셋 수학 확률과 통계

추천사·확률과 통계, 세상을 영리하게 살아가는 법(김준교)
머리말·어렴풋이 알고 있는 확률과 통계의 실상 알기

I 확률은 조금 엉성하다

01 어떤 일이 일어나는 데는 두 가지 방식이 있다
02 확률은 우연에 점수를 매긴다
03 확률이란 무엇인가?
04 확률의 정체
05 또 하나의 확률
06 큰수의 법칙과 두 가지 확률
07 확률 개념 총정리

II 확률은 속기 쉽다

08 확률은 과거에 얽매이지 않는다
09 우연을 '지배'한다는 사람의 비밀
10 우연을 '예상'한다는 사람의 비밀
11 우연이 거듭 일어난다면?

III 뜻밖의 재미를 주는 확률 계산

12 확률 계산의 기본
13 확률끼리 계산하기
14 제비뽑기 순서와 확률의 비밀
15 '적어도'라는 조건을 붙이면 뜻밖의 결과가 나온다

IV 통계란 무엇인가?

16 확률과 통계의 관계는?
17 기댓값이란?
18 기댓값과 여러 가지 도박
19 분산·표준편차·표준점수의 정체

1의 눈이 10번이나 연속해서 나오는 '특별한' 경우나 아무런 특징 없는 '평범한' 경우나 확률은 결국 똑같다. 이 결론을 아무래도 납득하지 못하는 사람이 많을 것이다. 오히려 이 결론과 반대로 주사위 눈이 특별하게 나오는 장면은 좀처럼 보지 못했지만 평범하게 나오는 장면은 늘 보았다는 쪽이 자연스럽다.
그러면 어째서 이러한 생각이 자연스럽게 느껴질까? 여기에는 심리적인 요인이 크게 작용한다. 여기서 말하는 심리적인 요인이란 사물을 '특별한 것'과 '평범한 것'이라는 2가지 범주로 나누는 메커니즘을 뜻한다. 일반적으로 사람은 무언가 규칙성을 찾아낸 사물이나 사건을 '특별한 것'으로 여기고, 그렇지 않은 것과 구별하려는 경향이 있다. 이때 구별한 '특별한 것'과 '특별하지 않은 것'이라는 2가지는 언어 수준에서는 크기가 같다고 느낄 수도 있다. 그러나 실제로는 '특별한 것'이라고 생각하는 사물이나 사건의 수는 그리 많지 않은 반면, '특별하지 않은 것'의 수는 압도적으로 많다.
하나하나의 사건이 일어날 확률이 모두 똑같고 매우 작다 하더라도 '특별한 것'과 '그렇지 않은 것'이라는 틀에서 생각하면 극히 소수인 '특별한 일'이 일어날 확률은 여전히 작은 데 반해 압도적으로 다수인 '그렇지 않은 일'이 일어날 확률은 커진다. 따라서 '특별한' 눈이 나올 확률과 '평범한'눈이 나올 확률이 같다는 결론을 납득하지 못하는 이유는 다음의 두 가지를 혼동하기 때문이다.
- 하나하나의 눈이 나올 확률
- '특별한 것'과 '그렇지 않은 것'이라는 2개의 틀로 나누어 생각할 때의 확률

'기댓값'은 의외로 모르는 사람이 많을 수 있다. '기대의 값'이라고 해도 무슨 말인지 이해하기 어렵기 때문일 것이다. 방금 말했듯이 '기댓값'이란 바로 '기대의 값'이다. 더 자세히 말하자면 '기대할 수 있는 값'을 가리킨다.
예를 들어 '주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 기댓값은 3.5이다.'라는 말은 '주사위를 던졌을 때 기대할 수 있는 눈의 수는 3.5이다.'라는 의미다. '100원에 산 이 제비의 상금 기댓값은 60원이다'라는 말은 '100원에 산 제비로 60원의 상금을 기대할 수 있다.'라는 뜻이다.
그런데 '기대할 수 있는 눈의 수는 3.5'라든가 '기대할 수 있는 상금은 60원'이라는 말 역시 무슨 뜻인지 금세 이해하기 어렵다. 이 말을 좀 더 알기 쉬운 표현으로 바꾸면 '나오는 눈의 수의 평균은 3.5이다', '상금은 평균은 60원이다'가 된다. 이처럼 '기댓값'은 '평균'이라는 말을 써서 좀 더 알기 쉽게 바꿀 수 있다. '기댓값'이라는 말은 낯설더라도 '평균'이라는 말은 자주 쓰는 데다 뜻도 알고 있다. 기댓값이란 바로 '평균'을 뜻한다.
그러면 왜 평균이라는 말 대신 기댓값이라는 다소 어려운 말을 쓰는 걸까? '평균'이라고 하면 눈앞에 있는 데이터를 더하거나 나누거나 해서 계산하는 것을 떠올리기 쉽다. 확률은 앞으로 어떻게 굴러 갈지 알 수 없으므로 확률에 평균이라는 말은 걸맞지 않은 것이다. 어쨌든 지금은 '기댓값 = 평균'이라는 관계를 머릿속에 넣어 두기만 해도 충분하다.

여기서 확률의 특징을 간단히 정리해 보자.
① 확률은 어떤 사건이 일어나는 모든 경우를 알고 있다는 것을 전제로 한다.
② 일어날 수 있는 일의 모든 경우의 수를 세는 것이 확률을 계산하는 첫걸음이다. 경우의 수를 셀 때는 다음을 조심해야 한다.
- 빠뜨리거나 중복해서 세는 일이 없도록 주의한다.
빠뜨리거나 중복해서 세면 '전체 경우의 수'가 틀리므로 계산한 확률의 의미가 없게 된다. 정확하게 세려면'수형도(나뭇가지 모양의 그림)'나 표를 쓰는 것이 좋다.
- 필요 없는 것까지 세지 않도록 주의한다.
동전을 던졌을 때 '동전이 수직으로 서는' 경우 따위는 셀 필요가 없다.
③ 모든 경우의 수를 셀 때 각각의 경우가 평등하게 일어난다는 가정하에 세어야 한다. 달리 표현하면 각각의 일이 일어날 확률은 같다는 뜻이다.