수학의 숲을 걷다

서문 편안한 마음으로 수학을 되짚어 볼까요?

1부 수학의 가치
_수학, 진리를 찾는 열쇠
1. 수학공부, 꼭 해야 하나요?
2. 수학에 소질이 없는데 어떡하죠?
3. 어떻게 하면 수학을 쉽고 재미있게 공부할 수 있나요?
4. ‘수학은 신의 언어’ 너무 거창한 말 아닌가요?
5. 수학은 ‘발견’인가요, ‘발명’인가요?
6. 수학자들은 어떤 연구를 하나요?
7. 앞으로는 수학문제를 AI가 풀어 줄 텐데요?

2부 실수
_수를 읽는 지적인 시간
8. 1+1은 2일 수도 있고 아닐 수도 있나요?
9. 그래서 √2란 무엇인가요?
10. 0은 왜 그렇게 중요한 수인가요?
11. 음수 곱하기 음수는 왜 양수인가요?
12. 분모의 유리화는 꼭 해야 하나요?
13. 저는 90°가 π/2보다 더 편한데요?

3부 집합과 함수
_모든 것을 담는 상자
14. 집합은 꼭 필요한 개념인가요?
15. 집합은 어떻게 논리에 쓰이나요?
16. 집합끼리 곱한다고요?
17. 좌표가 왜 그렇게 중요한가요?
18. 함수는 input, output으로 이해하면 되는 것 아닌가요?
19. 함수와 그래프를 왜 구별해야 하나요?
20. 일대일함수와 전사함수란 무엇인가요?
21. 연속함수란 무슨 의미지요?

4부 극한과 미적분
_아름다운 무한의 세계로
22. 그래도 0.999⋯는 1보다 작은 수 아닌가요?
23. 극한이란 구체적인 수가 아니라 접근하는 상황 아닌가요?
24. 미분과 적분은 왜 쌍으로 다니나요?
25. 평균값정리는 왜 자주 등장하나요?
26. 미적분을 왜 배워야 하나요?
27. 왜 자연상수 e가 중요한가요?
28. 지수함수는 정의하기 어렵다고요?
29. dy/dx는 실제로 분수인가요?
30. 역함수는 어떻게 쓰이나요?

5부 수의 신비
_세상의 비밀을 담고 있는 수에 대한 이야기
31. 소수는 왜 중요한가요?
32. 허수 i는 어떤 수인가요?
33. 복소수에는 어떤 비밀이 있나요?
34. π를 왜 신비로운 수라고 하나요?
35. π의 근삿값은 얼마나 정확하게 구해졌나요?
36. 초월수란 무엇인가요?
37. 피보나치 수열은 왜 그렇게 유명한가요?

6부 수학과 논리
_생각의 힘을 키우는 법
38. 논리가 철학이 아니고 수학이라고요?
39. 현대적인 논리학이란 어떤 것인가요?
40. 수학공부에는 어떤 논리가 필요한가요?
41. ‘만족하다’가 맞나요, ‘만족시키다’가 맞나요?
42. 귀류법은 왜 어려운가요?
43. 수학적 귀납법은 정말 완벽한 것인가요?
44. 열린구간 (0, 1)의 최댓값은 무엇인가요?
45. 무한에는 작은 무한과 큰 무한이 있다고요?
46. 왜 무리수가 유리수보다 더 많나요?
47. 그리스의 공리적 논증수학이란 어떤 것인가요?

수학은 정확한 논리를 통해 완벽한 해를 구하는 것을 추구하기는 하지만 그 결과로 얻어지는 답보다는 그 답을 얻어 가는 과정이 더 중요합니다. 학교 수학이나 입시 수학에서도 크게 다르지 않습니다. 그래서 수학에서는 평가할 때도 답을 평가하는 것이 아니라 답을 내는 과정을 평가해야 합니다. 그래서 구한 답이 (단순한 계산 실수 등으로) 틀리더라도 답을 구하는 과정이 맞으면 만점을 주어야 하지요. 한국수학올림피아드 2차, 3차 시험, 국제수학올림피아드 등 서술형 시험에서는 그러한 방식을 유지하고 있습니다.
_<서문> 중에서

수학에서도 수학문제를 최고 수준의 영재들만큼 풀 수 있는 AI가 나온다면 금세 모든 인간을 앞질러야 하는데 현재 상황은 그렇지 않습니다. 그것은 AI가 전문적인 수학에 대해서는 원초적인 약점을 가지고 있기 때문입니다. 수학은 바둑과 달리 아주 복잡한 게임 규칙을 가지고 있습니다.
수학에는 아주 많은 분야가 있습니다. 수백 개 분야가 있고 그 내용과 성격도 아주 다양합니다. 그래서 그중에는 AI가 비교적 쉽게 접근할 수 있는 분야가 있고 접근하기 힘든 분야가 있을 것입니다. 쉬운 분야는 계산 위주로 구체적인 답이나 근삿값을 구하는 분야일 확률이 높고 어려운 분야는 추상적인 수학 개념이 많이 등장하는 분야일 것입니다.
_<1부 7. 앞으로는 수학문제를 AI가 풀어 줄 텐데요?> 중에서