수학과 자연 그리고 인간

CHAPTER 01 서론: 수학이란 무엇인가 001
1.1 수학에 대한 세 관점 002
1.2 수학과 과학의 관계 004
1.3 수학은 확실한가 010
1.4 수학을 공부하는 목적 012
1.5 생각해 볼 문제들018
CHAPTER 02 학문적 수학 이전의 수학 021
2.1 수학적 본능 022
2.2 수를 세다 · 024
2.3 숫자의 등장 026
2.4 산술과 기하의 태동(BC 2000년 경) · 028
2.5 한계점과 시사점 030
2.6 생각해 볼 문제들 033
CHAPTER 03 논증 수학의 개화 037
3.1 문화적 배경 038
3.2 밀레토스의 자연철학(BC 6세기 경) · 039
3.3 피타고라스 학파 040
3.4 무한의 문제 043
3.5 아테네의 플라톤 045
3.6 아리스토텔레스(BC 384~322) 047
3.7 헬레니즘 시대(BC 323~146)와 그 이후 048
3.8 유클리드의 원론(Elements) 049
3.9 그리스 수학의 의의 · 053
3.10 수학으로 자연을 탐구 053
3.11 생각해 볼 문제들 056
CHAPTER 04 과학 혁명: 수학, 과학, 종교의 삼중주 059
4.1 수학과 과학의 암흑기(중세) 060
4.2 르네상스와 종교개혁 · 061
4.3 천문학의 혁명 · 062
4.4 역학의 혁명 065
4.5 과학혁명이 주는 역사적 교훈들 · 070
4.6 생각해 볼 문제들 075
CHAPTER 05 수 체계와 미적분학의 엄밀화 081
5.1 19세기 전반 수학의 상황 · 082
5.2 음수의 정당화 086
5.3 복소수(複素數, complex number)의 발견 088
5.4 무리수와 실수를 정의하다 · 091
5.5 해석학의 엄밀화 092
5.6 자연수의 공리화 094
5.7 생각해 볼 문제들 096
CHAPTER 06 수학, 낙원의 문턱에 서다 099
6.1 엄밀화와 공리화 100
6.2 무한의 신세계가 열리다 101
6.3 기수(Cardinal Number) 105
6.4 서수(Ordinal Number) 107
6.5 무한은 과연 존재하는가? · 111
6.6 미술로 표현된 무한 118
6.7 생각해 볼 문제들 120
CHAPTER 07 수학과 이성의 위기 123
7.1 논리적 역설들 124
7.2 의미론적 역설들 124
7.3 미봉적인 해결책들 125
7.4 공리적 집합론 126
7.5 ZFC 공리계 128
7.6 선택 공리에 대한 논란 131
7.7 연속체 가설 133
7.8 모순과 역설에 대한 다른 관점들 133
7.9 생각해 볼 문제들 135
CHAPTER 08 논리주의, 직관주의, 형식주의 137
8.1 논리주의(Logicism) · 138
8.2 Principia Mathematica 139
8.3 논리주의에 대한 비판들 142
8.4 직관주의(Intuitionism) · 143
8.5 직관주의에 대한 비판들 150
8.6 직관을 중시한 학자들 · 153
8.7 형식주의(Formalism) 156
8.8 형식주의에 대한 비판 · 158
8.9 대논쟁에 대한 철학적 해석 및 그 이후 159
8.10 생각해 볼 문제들 162
CHAPTER 09 괴델의 불완전성 정리 167
9.1 형식문의 Godel numbering 168
9.2 메타 수학의 산술식화 · 170
9.3 제1 불완전성 정리 170
9.4 제2 불완전성 정리의 증명 · 172
9.5 불완전성 정리의 철학적 함의 173
9.6 생각해 볼 문제들 178
CHAPTER 10 알고리즘과 튜링 기계 181
10.1 결정 문제(Decision problem) · 182
10.2 Turing machine 183
10.3 튜링 기계의 정지 문제와 결정 문제 186
10.4 알고리즘을 뛰어넘는 인간 사고 188
10.5 결정 불가(Undecidable) 문제들의 예 191
10.6 계산 가능한 수 vs 측정 가능한 수 · 192
10.7 양자 컴퓨터 194
10.8 생각해 볼 문제들 196
CHAPTER 11 인공 지능과 수학 그리고 인간 199
11.1 기계가 사고할 수 있는가? 200
11.2 인공 신경망(artificial neural network) 204
11.3 인공 지능의 현황과 전망 · 210
11.4 인공 지능의(AI-generated) 수학 217
11.5 인공 지능과 인간 220
11.6 인간 뇌의 신비 224
11.7 생각해 볼 문제들 227
에필로그 · 229
부록 · 231
A.1 제1원리(First principle, Ab initio) · 232
A.2 대칭성(Symmetry) 233
A.3 반증 가능성(Falsifiability) 234
A.4 포스트모더니즘(Postmodernism) · 235
A.5 동치 관계(Equivalence Relation) · 236
A.6 Banach-Tarski 역설의 2차원 version 237
A.7 사잇값 정리 238
A.8 통약 불가능성(incommensurability) 240
참고문헌 · 241
찾아보기 · 245