음악화음의 기하학 Geometry of Music Harmony

머리말 9

1장 화성학의 기초 17

1. 음정(Interval) 19
2. 조성(Tonality)과 조표(Key Signature) 23
3. Mode Scale 34
4. 화음(Harmony, Chords) 47
5. 7th 화음의 Diatonic Harmony 68
6. 텐션(Tension) 73

2장 화음기하학 리뷰 83

1. 오일러 토네츠(Euler Tonnetz) 85
2. 화음변환의 기하학 87
4. 대표적인 화성진행의 기하학 94

3장 Yoon Tonnetz와 화음기하학 101

1. Yoon Tonnetz 103
2. 화음 사각형 106
3. 화음사각형의 성격 115
4. Yoon Tonnetz에서 화음사각형의 도형 118

4장 Mode Scale의 기하학 135

1. 장음계 Diatonic 화음의 기하학 137
2. 다른 Mode에서의 Diatonic Harmony Frame들 141

5장 화성진행의 기하학 161

1. 기존의 유명한 화음진행들 163
2. 대표적인 기본화음진행들 170
3. Secondary Dominants 180
4. Substitute Dominants 187
5. 확장 II-V-I 190
6. Minor Key Harmony의 도형이해 192
7. Diminished Chords의 역할과 화음도형 201
8. Modal Interchange 216
9. Reharmonization/Modulation의 도형화 227
10. Modal Harmony의 도형 242

6장 응용 251

1. 화성진행도형특성 종합 253
2. 기존 곡들의 도형 예 263
3. 도형을 이용한 코드진행의 시도 275

맺는말 287

머리말

저는 1970년부터 2016년 까지 47년간에 걸쳐 수학(Mathematics),
역학(Dynamics) 등을 기본으로 하는 자연과학분야에 몸 담았었습니
다. 구체적으로는, 물이나 공기의 유동현상을 다루는 유체역학(Fluid
Mechanics)을 공부하였습니다. 더욱 세부적으로는, 공 등 물체주위
의 유체(공기와 물)유동, 해류순환, 파도위에서의 배의 운동 등 각종
유체유동의 문제들을 기존의 수학이론을 적용하여 해석하고 규명하
는 연구를 수행하였습니다. 기존의 수학이론이 부족하다고 느낄 때는
새로운 수학이론을 만드는 일도 적지 않았습니다. 이를 위해 컴퓨터
를 이용하여 수치 해석하는 일이나, 이론의 타당성확인을 위해 실험실
에서 실험을 수행하는 경우도 있었지만, 기본적으로는 유체유동을 수
학의 방법을 통해 해석하고 예측하는 소위 이론유체역학(Theoretical
Hydrodynamics)이 저의 관심분야였습니다. 그러니 자연현상은 물론
인간이 만든 각종 사회문화현상마저도 자연과학적인 시각과 방법론으
로 접근하고 이해하려는 습관이 몸에 배었다고 할 수도 있겠습니다.

2017년 2월 정년퇴임 후 ‘수학과 음악의 연관성’에 대해 관심을 갖게 되어 관련 서적과 논문 등을 읽으며 지식을 습득하기 시작하였습니다. 저의 주된 관심은 화성학에 꽂혀있었습니다. 주지하다시피 화성학이란 음악의 화음구성, 화음진행에 대해 가능한 최소한의 일반규칙을 도출하고 적용영역의 최대화를 추구하는 음악의 중요한 한 분야입니다. 그러나 현존하는 다양한 음악에는 그렇게 수립된 화성규칙으로부터 예외적인 부분도 적지 않아 보였습니다. 하기야 인간의 감성표현의 대표주자격인 음악이기에 모든 것이 이론적으로, 규칙으로서 설명되어지는 것이 오히려 이상할 지도 모르겠습니다. 하지만 화성학의 일반논리가 통하지 않는 예외부분 중 상당부분에 대해서는 나름 특수이론을 만들어 이를 설명하기도 하고, 그러한 노력으로도 설명하기 어려운 부분에 대해서는 관행이라는 카테고리에 넣어 암기하는 일도 적잖이 있었습니다. 음대학생들이 화성학을 어려워(?)하는 이유도 여기에있음이 분명해 보였습니다. 한편 저의 입장에서는 이러한 화성학 내용전반을 자연과학, 특히 수학이라는 눈으로 쳐다보니 적지 아니 모순점(?)이 발견됨을 느끼게 되었습니다. 자연스레 ‘음악화성을 더욱 쉽게설명하는 일목요연하고 통일성과 일반성을 가진 논리의 개발은 과연불가능한 것인가?’ 라는 질문에 도달하게 되었던 것입니다. 그리고 화성학에 대한 제 나름의 생각을 수학이라는 도구를 이용하여 설명하는일에 착수하게 된 것입니다.

우리는 옛날부터 ‘음악은 수학의 기반아래 존재 한다. 또는 수학의원리가 음악에 내재되어 있다’라고 알고 있습니다. 그리고는 피타고라스의 대장간 이야기로부터 시작합니다. 소리(음, Sound)의 높낮이와 소리를 내는 물체의 진동수 관계를 말하고, 높고 낮은 두 음을 내는 물체의 진동수가 일정비가 되면 아름다운 화음을 내는 사실을 수학과의 연관성을 말하는데 자주 인용합니다. 12음계에 대해 순정율을말하기도 하고, 평균율을 말하기도 합니다. 보통 피아노의 네 번째 옥타브의 ‘라(La, A음)의 진동수가 440Hz다’ 라고도 말합니다. 카라얀은 성악가와 협연할 때, 성악가를 힘들게 하려고 442Hz에 맞추어 음높이를 높였다는 에피소드도 있습니다. 아무튼 피아노 뿐 아니라 현악기 줄의 재질과 두께와 길이, 기타의 프랫(Fret) 위치, 관악기의 길이와 형상,...이들 모두에 수학과 역학이 내재되어 있습니다. 좀 더 구체적으로는 대수학(Algebra)과 물(Physics)의 내용과 밀접하게 연관됩니다. 이들에 관련하는 모든 원리는 정확히는 진동역학(VibrationDynamics), 파동역학(Wave Mechanics)이나 음향학(Acoustics)의범주에서 다루는 매우 간단한 내용들입니다. 좀 더 부연하면, 음원에서 듣는 사람의 귀까지 도달하는 원리는 공기 중에서 압력파(PressureWave)의 전파(Propagation)문제이어서 유체역학의 주요내용입니다. 악기나 입에서 나온 소리신호를 전기신호로 바꾸어 증폭시켜 유·무선으로 보내고 이를 스피커에서 다시 소리신호로 바꾸어 방사하는부분은 전기통신이론(Telecommunication Theory), 수학에서는 대수학 중에서 퓨리에변환(Fourier Transform)이 그 원리를 제공합니다. 이 음악을 귀로 들은 후 ‘멋지다, 시끄럽다, 힐링된다’ 등으로 판단하는 것은 인체과학 특히 뇌과학(Brain Science)과 음악심리(MusicPsychology)에서 다룹니다. 음악을 이러한 관점에서 보면, 음악이 음악답지 않고 매우 삭막하게 느껴지는 것도 사실일 것입니다. 아무튼 이를 종합하면 음악의 재료인 음 자체, 음악을 전하고, 듣고, 판단하는 모든 과정에는 수학·과학원리가 작동하지만, 음을 이용해 만든 음악(Music)이라는 건축물에까지 수학원리가 존재한다고 확신할 수는없어 보입니다.(참고로 Fractal이론을 적용한 전자음악은 일부 수열 전개를 바탕으로 하지만 수학이론이라는 관점보다는 음악설계라는 실용적 관점이 더욱 부각되며, 인공지능(AI)이 만드는 음악 역시 AI에 대한 훈련 및 경험, 그리고 Big Data에 대한 통계해석의 산물입니다)

관념철학의 대가인 헤겔(Hegel)이 베를린대학에서 행한 미학강의에서 ‘음악은 보이지 않는 건축물’ 이라고 설파했습니다. 이를 본 따 얘기한다면, 음악에서의 음(Sound)이란 건축물로 치면 건축 재료입니다.우리는 건축 재료에 대한 수학이론의 존재에 감탄한 나머지 건축물에수학이론이 존재한다고 착각하는 것은 아닌지 모르겠습니다. 그렇다면 건축물, 즉 음악(Music)이라는 입체에 존재하는 수학이론은 과연없는 것인가? 재료로서의 음(Sound)이 아닌 건축물로서의 음악에 수학적으로 접근해보고자 하는 것이 이 글을 쓰게 된 구체적 동기이기도합니다. 처음에는 대수학의 대표주자격인 함수론(Function Theory)을 적용하여 음악을 진동수(Frequency)와 시간(Time)의 함수로 표현하고자 시도하였습니다. 그리고 기존의 음악에 사용된 멜로디와 화성진행에 대해 빅데이터를 구축해 통계해석(Statistical Analysis)을 시도하려고도 했습니다. 분명히 아름다운 노래, 듣기 싫은 노래, 슬픈 노래 등에는 각각 선율과 화성진행에 있어 나름의 공통점, 특이점, 상이점이 반드시 존재하리라는 생각에서였습니다. 그러나 이러한시도는 곧바로 포기하였습니다. 대중의 이해도 어려울 뿐 아니라, 시도 자체에 엄청난 난관이 예상되었기 때문입니다. 또 도와주는 젊은이 한 명 없는 퇴임 후의 음악학도에게 적합한 일도 아님이 분명한 때문이기도 하였습니다. 그리하여 결정한 것이 누구도 어렵지 않게 이해할 수 있는 기하학(도형학, Geometry)을 화성학(Theory of Music Harmony)에 접목하는 것이었습니다. 즉 어떤 면에서는 ‘음악을 눈으로 보자’라는 최근 몇 세기 동안 이론음악가들이 추구해 온 목표와 일맥상통하는 부분이기도 합니다.

맛있는 음식도 중요하지만, 음식이 눈에 아름답게 보이는 것도 중요하
듯이, 아름다운 음악은 어떻게 생겼을까 하는 것은 매우 흥미진진한 질문입니다. 이 글은 ‘화성학을 눈으로 보자’, ‘눈으로 보는 화성학’이라는 점을 그 특징으로 한다고 할 수 있습니다. 인지심리학에서는 무엇을 인지하는 정도를 10을 만점으로 하여 굳이 정량화한다면, 시각을 통할 경우가8.5, 청각을 이용할 경우가 1.0, 기타 후각, 촉각, 미각의 경우가 나머지0.5라고 합니다. 물론 이해하고자 하는 대상마다 다르겠지만, 사람의 어떠한 입력기관보다도 눈을 통한 입력이 가장 강력한 이해와 기억을 도모할 것임은 분명하며, 음악, 적어도 화성학도 예외가 아닐 것입니다.

한편 화성학의 전체내용을 처음부터 자세히 기술하기 위해서는 엄청난 분량의 지면이 필요할 뿐 아니라, 이 내용을 여기서 모두 다루는 것은 이 글의 주목표와도 어긋납니다. 어디까지나 이 책의 주목표는 화성학과 기하학의 접목이므로 화성학의 내용은 그 기초만을 간단히 요약하는 것으로 하였습니다. 그런 관점에서 제1장에서는 화성학의 기초에 대해 간략히 언급하고, 제2장에서는 화음을 그림으로 나타내려 했던 과거 연구자들의 노력에 대해 간단히 살펴봅니다. 제3장에서는 제가 제시하는 그림판에 대해 설명하고 그 그림판위에서 화음의 기하학적 특성 및Diatonic Harmony Frame을 구성합니다. 제4장에서는 가장 친숙한 Ionian 장음계 뿐 아니라, 다른 여러 주요 음계에 대해서도 Harmony Frame의 기하학적 특성을 만들어봅니다. 제5장에서는 화성학의 가장 중요한 내용인 기존의 화음진행 규칙들을 기하학적으로 표현해 봅니다. 제6장에서는 실제로 몇 개의 노래에 대해 기하학적 표현을 해보고 나아가 먼저 창조적으로 기하학적 표현을 시도하고 이에 의거한 화음진행을 도출해 봅니다. 비록 수학의 한 분야인 기하학이지만 이 책에는 불과 몇 개의 악보에 수식은 딱 한 줄밖에 없음을 미리 말씀드립니다.

그럼에도 불구하고, 책의 내용을 이해하기 위해서는 어느 정도 사전전문지식이 요구됩니다. 이 책의 주요 독자는 음악 또는 화성학과 수학의 접목에 관심을 가진 분, 자연과학이나 공학을 전공하고, 음악에도 깊은 관심이 있는 분, 특히 이론적 근거를 가지고 작곡을 하고자 하는 분 등에게 유용한 지식과 시야를 제공할 수 있으리라 생각합니다. 아무쪼록 이 책을 읽는 이 모두에게 화성학 전반을 이해하는데 조그마한 도움이 되기를 바랍니다. 나아가 본서에서 제시하는 화성학과 기하학의 접목이라는 색다른 시도가 후학들의 연구로 이어진다면 더 고마울 나위가 없겠습니다.

화성학 강의를 통해 음악의 세계로 인도해 주신 서울디지털대학교 실용음악학과의 이범준 교수님, 조언을 아끼지 않으신 정지영 피아노 선생님과 정신집중해서 공부하면 눈도 나빠지고 머리에 이상이 생긴다고 공부 좀 그만하라고 보채는 아내에게 감사를 드립니다.


2019년 11월
BS Music Studio에서
윤 범 상