x의 즐거움

추천사_ 스티븐 스트로가츠의 수학세계 _ 김민형(옥스퍼드 대학 수학과 교수)
머리말_ 유치원 산수부터 수학 지식의 변경까지

제1부 이걸 아는 순간 인생이 달라진다 : 수
01 생선에서 무한까지 | “생선, 생선, 생선, 생선, 생선, 생선!” 과 “생선 6!”의 차이
02 돌멩이 집단 | 만약 숫자가 돌멩이라면
03 내 적의 적 | 음수와 양수의 불편한 진실
04 교환법칙 | 곱셈 속에 숨겨진 인생의 실마리
05 나눗셈에 대한 불만 | 처음 만나는 수학의 벽을 넘으려면
06 자리가 값을 결정하다 | 0과 자리값이 불러온 혁명

제2부 원인과 결과, 투여와 반응, 세계는 어떻게 이루어져 있나 : 관계
07 x의 즐거움 | 수학이라는 언어와의 만남
08 근을 찾아서 | 복소수를 찾는 여정
09 넘쳐흐르는 욕조의 비밀 | 문장제의 함정 뛰어넘기
10 근의 공식 | 정사각형으로 이해하는 근의 공식
11 함수, 수학자의 필수 도구 | 무엇이든 변환하는 수학 연장통

제3부 눈을 즐겁게 하는 새로운 발견 : 형태
12 정사각형의 춤 | 피타고라스의 정리가 그리도 아름다운 이유
13 기하학의 증명 | 뉴턴과 스피노자가 따라 한 진리 증명법
14 원뿔곡선 가족 | 원, 타원, 포물선이 들려주는 이야기
15 사인파의 비밀 | 세상 모든 것 속에 있는 사인파
16 극한까지 나아가다 | 아르키메데스가 상상한 무한 속의 원주율

제4부 수학이 가진 경이로운 힘 : 변화
17 변화를 다루는 미적분학 | 가장 편한 길로 가려면
18 얇게 썰어서 합하는 방법 | 합리적인 예측을 돕는 적분의 힘
19 e에 관한 모든 것 | 무리수 e에게 연애 상담 요청
20 사랑의 미분방정식 | 밀고 당기는 연인들의 카오스 역학
21 빛의 본질 | 스마트한 움직임을 위한 벡터미적분학

제5부 어지러운 삶에 영감을 주세요 : 데이터
22 지금 무엇이 정상적인가 | 통계학이 지닌 정치적 속성
23 조건부확률 | 직관과 상식의 함정에 빠지지 않는 비결
24 인터넷 검색의 비밀 | 자기들끼리 인기투표를 하는 구글

제6부 알려진 것과 알려지지 않은 것 : 경계
25 가장 외로운 수 | 쓸쓸해서 더 신비로운 소수 이야기
26 매트리스 수학 | 침대 매트리스를 뒤집는 가장 수학적인 방법
27 뫼비우스의 띠 | 고무처럼 늘어나는 위상수학 엿보기
28 구면기하학과 미분기하학 | 지구 위의 최단 거리를 찾아주는 기하학
29 해석학 | 수학이 병에 걸렸을 때 찾는 치료법
30 힐베르트 호텔 | 무한 명의 손님과 무한 개의 호텔방

험프리는 주문을 자세히 듣고 주방에 그 주문을 소리쳐 알려준다. “생선, 생선, 생선, 생선, 생선, 생선!” 그것을 보고 어니는 6이라는 수가 얼마나 편리한지 깨닫는다. 어린이는 이 이야기를 통해 수가 얼마나 편리한 것인지 배운다. 펭귄 수만큼 ‘생선’을 계속 외치기보다는 6이라는 수를 사용하면 훨씬 편리하기 때문이다. -22~23쪽

또 한 가지 미묘한 점은 수는 (이 점에서는 다른 수학 개념들도 모두) 나름의 생명을 갖고 있다는 사실이다. 우리는 수를 마음대로 통제할 수 없다. 수는 우리 마음속에 존재하지만, 수가 무엇을 의미하는지 정하고 나면, 우리는 수의 행동에 간섭할 수가 없다. 수는 나름의 법칙을 따르고, 나름의 속성과 개성과 서로 결합하는 방식이 있으며, 우리는 그저 지켜보고 이해하려는 노력만 할 수 있을 뿐 아무런 영향도 미칠 수 없다. 이 점에서 수는 기묘하게도 이 세계의 물질인 원자와 별을 연상시키는데, 원자와 별도 우리의 통제에서 벗어나는 법칙을 따르기 때문이다. 다만, 이것들은 우리의 마음 밖에 존재한다. -24쪽

일단 깊이 생각하기 시작하면, 곱셈은 실제로 상당히 미묘하다. 용어부터 그렇다. ‘7 곱하기 3(seven times three)’은 ‘7을 세 번 더하는 것’일까, 아니면 ‘3을 일곱 번 더하는 것’일까? -43쪽

무엇보다도 자리값 수 체계를 사용하면 보통 사람들도 셈을 배울 수 있다. 몇 가지 사실 ? 구구단과 덧셈에서 그에 해당하는 규칙 ? 만 알면 된다. 이것들만 알면 나머지는 알 필요가 전혀 없다. -63쪽

미지수의 값을 구해야 하는 상황은 아주 많다. 갑상선 종양의 크기를 줄이려면, 방사선을 얼마나 쬐야 할까? 연 5% 고정 금리 조건으로 받은 20만 달러의 대출금을 30년 동안 갚으려면, 매달 얼마씩 내야 할까? 로켓이 지구의 중력을 뿌리치고 탈출하려면, 얼마나 빠른 속도로 날아야 할까? -97쪽

종이를 일곱 번이나 여덟 번 이상 접기 힘든 이유4도 이 때문이다. 한 번 접을 때마다 종이 뭉치의 두께는 약 두 배씩 증가하면서 지수함수적으로 증가한다. 반면에 종이 뭉치의 길이는 매번 절반으로 줄어들므로, 지수함수적으로 빠르게 ‘감소’한다. -110~111쪽

우리가 음악을 들을 때 뇌도 이와 비슷한 마술을 보여준다. 음계를 이루는 각 음 ? 도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시, 도 ? 의 진동수는 우리 귀에 똑같은 단계씩 증가하는 것처럼 들린다. 하지만 객관적으로는 그 진동수는 ‘배수 단위’로 증가한다. 따라서 우리는 소리의 음을 로그값으로 인식하는 셈이다. - 112쪽

내 직감적 판단(솔직하게 말하면, 나도 개인적으로 기하학을 아주 좋아한다)으로는 사람들이 기하학을 좋아하는 이유는 기하학이 논리와 직관을 ‘결합’시키기 때문인 것 같다. 좌뇌와 우뇌를 동시에 사용할 때 우리는 큰 만족감을 얻는다. -117쪽

아르키메데스는 미적분학의 기초를 놓은 것 외에도 근사와 반복의 위력을 보여주었다. ... 이 덕분에 생물공학에서부터 월스트리트와 인터넷에 이르기까지 현대 생활의 모든 측면에서 맞닥뜨리는 문제들을 푸는 데 컴퓨터를 활용할 수 있게 되었다. 이 모든 경우에 사용되는 기본 전략은 극한값으로 존재하는 정답에 수렴하는 일련의 근사를 찾아내는 것이다. 이 방법이 우리를 어디로 안내할지는 아무도 모른다. -166~165쪽

최선의 전략은 아닐지라도 좋은 전략이 한 가지 있다. 그것은 연애 인생을 이등분하는 것이다. 첫 번째 절반의 상대와는 그냥 연애만 즐기되, 두 번째 절반의 상대를 사귈 때에는 진지한 자세로 접근한다. 그리고 그때까지 만난 사람들보다 더 나은 사람을 만나면, 망설일 것 없이 그 사람을 선택하면 된다. 이 전략을 사용하면, 최선의 상대를 선택할 확률이 최소한 25%는 된다. 그 이유는 다음과 같다. 두 번째 연애 인생에서 최선의 상대를 만날 확률은 50 대 50이고, 첫 번째 연애 인생에서 차선의 상대를 만날 확률도 50 대 50이다. 만약 실제로 이 두 가지 사건이 모두 일어난다면(그 확률은 25%가 된다), 여러분은 진정한 사랑을 만나게 될 것이다. -193~194쪽

춤을 배우려는 사람에게 오른발과 왼발을 옮기는 방법과 순서를 알려주는 화살표가 잔뜩 표시된 다이어그램을 생각해보자. 이 화살표들이 바로 벡터이다. 화살표는 두 종류의 정보를 담고 있다. 하나는 방향(발을 어느 쪽으로 움직여야 할지)이고, 또 하나는 크기(얼마나 멀리 움직여야 할지)이다. 모든 벡터는 이와 똑같은 이중의 정보를 담고 있다. -204쪽

신체 검사장에서 군 정신과 의사는 파인만에게 검사를 위해 두 손을 내밀라고 했다. 파인만은 한 손은 손바닥을 위로, 다른 손은 손바닥을 아래로 한 채 내밀었다. 정신과 의사는 “아니, 그렇게 말고 반대로.”라고 말했다. 그러자 파인만은 두 손을 ‘동시에’ 뒤집었다. 여전히 한 손은 손바닥이 위로 향했고, 다른 손은 아래로 향했다. 파인만은 심리 게임을 시도한 게 아니었다. 그저 군론의 작은 유머를 써먹었을 뿐이다. -261쪽

한 바퀴를 돈 뒤에 크레용이 그린 선은 출발점의 ‘반대편’에 가 있었다. 이것은 첫 번째로 놀라운 사실인데, 뫼비우스의 띠 위에서는 출발점으로 돌아오려면 ‘두 바퀴’를 돌아야 한다. 그런데 갑자기 한 남자 아이가 공황 상태에 빠졌다. 크레용이 출발점으로 돌아오지 않았다는 사실을 안 순간, 그 아이는 자신이 뭔가 잘못했다고 생각했다. 원래 그렇게 되는 게 정상이고, 그 아이가 제대로 했으며, 한 바퀴 더 돌기만 하면 된다고 이야기해도, 아무 소용이 없었다. 이미 때가 늦었다. 아이는 바닥에 주저앉아 울기 시작했고, 도저히 달랠 수가 없었다. -267쪽

지금까지 내가 본 것 중 수를 처음 소개하는 방법 ―수는 무엇이며 수가 왜 필요한지 가장 명쾌하고 재미있게 설명한 것 ―으로 가장 훌륭하다고 생각하는 것은 <세서미 스트리트sesame street>의 '123 나와 함께 수를 세어보아요123 Count with Me'편이다.