수학을 읽는 힘

추천의 글_수학적 사고를 깨우는 지적 여정의 시작
프롤로그_여전히 수학이 어려운 사람들에게

1장 고대 · 중세
- 진리를 향한 첫걸음

기하학: 신과 인간 사이의 다리
− 최초의 철학자이자 수학자
− 신으로 추앙받은 수학자
− 세기의 베스트셀러
− 수학은 돈이 될까?

수학철학: 만물은 수이다
− 이해할 수 없는 것을 이해하기
− 수학의 불가해한 유용성
− 선 긋기 문제
− 플라톤의 수학 세계
− “직선을 긋다” vs. “직선이 있다”

수론: 패러독스의 향연
− 유리수와 무리수
− 정말로 심각한 문제
− 옴짝달싹 못 하는 아킬레스
− 무한보다 큰 무한
− 공리가 아닌 듯한 공리
− 그 이후로 무슨 일이 있었을까?

대수학: 유클리드가 쏘아 올린 공
− 중세는 암흑기일까?
− 엉뚱한 이름의 아라비아 숫자
− 0의 수수께끼
− 수직선 완성하기
− 유클리드 구출하기
∞기하학과 지렛대로 적분하기∞

2장 초기 근대
- 자연은 수학의 언어로 쓰였다

미적분학: 점성술에서 수리물리학으로
− 천문학의 유용함
− 코페르니쿠스의 지동설
− 학자도 줄을 타야 해!
− 케플러의 법칙
− 근대 과학의 아버지?
− 1684년의 운명적 만남
− 딱 다섯 쪽 만에 몰아 보는 미분
− 자연철학의 수학적 원리
− 물고기 사전 때문에 무산될 뻔한 프린키피아

복소수론: 허구적이지 않은 허수
− 수학으로 결투하기
− 도중에 나타났다 사라지는 유령
− 데카르트와 코기토
− 좌표평면의 등장
− 좌표평면에서 복소평면으로
− 허수는 정말 ‘상상 속의 수’일까?
− 세상에서 가장 아름다운 수식
− 두 세계를 잇는 다리
− 우리 모두의 스승, 오일러

논리학: 기계의 언어, 기계의 수학
− 만능 천재 라이프니츠
− 최단 강하 곡선 문제
− 희대의 진흙탕 싸움
− 모든 논쟁을 해결해 줄 기계

3장 후기 근대
- 엄밀하고 정확한 언어의 발견

미분기하학: 새로운 공간의 발견
− 삶의 빛을 집어삼키는 문제
− 무엇이 ‘진짜’ 직선일까?
− 증명이냐 반례냐, 그것이 문제로다
− 2천 년 난제의 종지부를 찍다
− 수학의 왕, 가우스

해석학: 더 엄밀하게, 더 정확하게
− π=4?, 0.999…=1?
− ‘한없이 가까워진다’의 의미
− 해석학의 등장

현대대수학: 비운의 천재들이 남긴 유산
− 오차방정식의 근의 공식?
− 어린 천재의 죽음
− 일순의 빛, 갈루아
− 아벨과 갈루아의 군론

4장 현대
- 암흑의 시대에 던져진 한 줄기 빛

집합론: 무한과 이그노라비무스
− 무한의 새로운 정의
− 가산집합과 비가산집합
− 대각선 논법과 연속체 가설
− 이름 붙일 수 없는 수
− 러셀의 역설
− 칸토어의 낙원
− 수란 무엇일까?
− 술어와 집합의 관계
− 체스와 집합론
− 힐베르트의 꿈

수리논리학: 불완전성 정리에서 컴퓨터까지
− 괴델의 불완전성 정리
− 불완전성 정리의 증명
− 부조리의 시대에 던져진 논리학자

위상수학: 우주 너머의 기하학
− 쾨니히스베르크 다리 문제
− 행성의 모양 알아내기
− 차원을 넘는 사유
− 푸앵카레의 추측
− 위상 공간의 등장
− 하우스도르프의 죽음

계산이론: 에니그마를 해독하라
− 튜링 기계
− 모든 것을 계산할 수 있는가?
− 해독 불가능한 암호를 해독하라
− 컴퓨터의 아버지

에필로그_다시 수학을 생각하는 시간

무엇이 만물을 이루는지에 대한 질문을 처음 진지하게 숙고한 인물은 탈레스로 알려져 있습니다. 그가 최초의 철학자로 회자되는 이유이지요. 탈레스는 만물이 물로 이루어져 있다고 주장했습니다. 아마 물이 고체, 액체, 그리고 기체로 변화할 수 있을뿐더러 지구의 상당 부분이 물로 덮여 있기 때문일 것입니다. 우리가 보기 에는 헛웃음이 나올 정도로 단순한 주장이지만, 탈레스의 추론은 여타 고대 신앙과 비교해 보면 꽤 ‘과학적’인 구석이 있습니다.
또한 탈레스는 처음으로 수학을 계산 놀음이 아닌 연역적 추론을 통해 결론을 이끌어 내는 학문으로 격상한 인물입니다. 이런 이유로 최초의 수학자로도 불리는데요, 그의 대표적인 발견은 “두 변과 그 끼인각이 동일한 삼각형은 모두 합동”임을 보인 것입니다.

이렇게 전자를 비롯한 입자의 행동에 관여하는 파동을 파동함수라고 불러요. 구체적으로 파동함수는 시공간의 각 점을 복소수에 대응시키는 함수입니다(갑자기 등장한 난해한 용어에 거부감이 들겠지만 자세한 설명은 건너뛰도록 할게요). 핵심은 전자의 행동을 설명하기 위해서는 파동함수라는 수학적 대상이 필요하다는 사실입니다.
여기서 우리는 수수께끼에 봉착합니다. 앞서 사과가 원자로 이루어져 있고, 원자는 전자와 쿼크로 이루어져 있으므로, 사과의 존재를 인정한다면 전자와 쿼크의 존재 또한 인정해야 한다고 결론 내렸습니다. 그런데 어떤 의미에서 전자와 쿼크는 파동함수로 이루어져 있고, 어떤 의미에서 파동함수는 복소수로 이어져 있습니다. 그렇다면 사과의 존재를 인정하기 위해서는 복소수 또한 사과만큼이나 실제로 존재한다는 사실을 인정해야 할 뿐 아니라, 복소수 같은 수학적 대상이야말로 세계를 이루는 가장 본질적인 실체임을 인정해야 하는 것 아닐까요?