수학 시크릿

들어가는 말

제1장 총합의 공식
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 1 순서대로 나열한 열 개의 수를 더한다
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 2 1에서 1000까지를 더한다
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 3 피라미드의 부피
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 4 제곱수 총합의 공식
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 5 세제곱수 총합의 공식
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 6 2의 거듭제곱의 총합

제2장 수를 세는 방법 연구
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 1 셈돌을 세는 방법 1
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 2 셈돌을 세는 방법 2
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 3 토너먼트의 시합 수
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 4 대각선의 수
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 5 대각선 교점의 수
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 6 정다면체 변의 수
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 7 직사각형의 수

제3장 수의 마술
놀라운 수의 문제 1 손가락셈
놀라운 수의 문제 2 곱셈 기계
놀라운 수의 문제 3 수를 알아맞히는 마술
놀라운 수의 문제 4 9로 나누었을 때의 나머지
놀라운 수의 문제 5 숫자가 정렬하는 곱셈
놀라운 수의 문제 6 7이 일렬로 늘어서다
놀라운 수의 문제 7 2의 거듭제곱 앞머리에 주목한다
놀라운 수의 문제 8 0.99999…의 수수께끼

제4장 입체도형의 수수께끼
삼차원 감각을 익히는 문제 1 정다면체 가운데 어느 것이 가장 클까?
삼차원 감각을 익히는 문제 2 정사면체 분해
삼차원 감각을 익히는 문제 3 정육면체와 정팔면체의 전개도
삼차원 감각을 익히는 문제 4 정십이면체에 숨어 있는 정육면체
삼차원 감각을 익히는 문제 5 수박 통조림?

제5장 반짝이는 증명
반짝임을 만끽하는 문제 1 보면 알 수 있는 '피타고라스의 정리' 증명
반짝임을 만끽하는 문제 2 제곱의 합의 최대치
반짝임을 만끽하는 문제 3 <최후의 만찬>의 수수께끼
반짝임을 만끽하는 문제 4 나무 열 그루를 심는다
반짝임을 만끽하는 문제 5 10으로 나누어떨어지는 짝꿍
반짝임을 만끽하는 문제 6 열 개의 수를 가지고 만든 원
반짝임을 만끽하는 문제 7 타일을 빈틈없이 깔다 1
반짝임을 만끽하는 문제 8 타일을 빈틈없이 깔다 2
반짝임을 만끽하는 문제 9 타일을 빈틈없이 깔다 3
반짝임을 만끽하는 문제 10 타일을 빈틈없이 깔다 4
반짝임을 만끽하는 문제 11 타일로 모양을 만든다
반짝임을 만끽하는 문제 12 체스 판을 한 바퀴 돈다
반짝임을 만끽하는 문제 13 미궁의 수수께끼
반짝임을 만끽하는 문제 14 직진을 금지하는 길

제6장 일상 속에 숨어 있는 수학
생활 속에서 즐기는 문제 1 우유팩의 수수께끼
생활 속에서 즐기는 문제 2 복사지의 모든 상호관계
생활 속에서 즐기는 문제 3 명함 속에 숨어 있는 황금비
생활 속에서 즐기는 문제 4 500밀리미터 캔 맥주
생활 속에서 즐기는 문제 5 정육면체 달력
생활 속에서 즐기는 문제 6 터치패널의 비밀
생활 속에서 즐기는 문제 7 네비게이션의 구조
생활 속에서 즐기는 문제 8 신용카드의 비밀번호
생활 속에서 즐기는 문제 9 포장도로의 블록
생활 속에서 즐기는 문제 10 칵테일 글레스

힌트 : 무엇을 발견했는가? 아마 ‘어느 답이나 일의 자리의 수가 5’라는 것을 알았을 것이다. 그러면 덧셈의 답에서 일의 자리 수 ‘5’를 뺀 수에 주목해 보자. 그 수는 등식의 좌변 어딘가에 있다.

13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=175
16+17+18+19+20+21+22+23+24+25=205
27+28+29+30+31+32+33+34+35+36=315
45+46+47+48+49+50+51+52+53+54=495
78+79+80+81+82+83+84+85+86+87=825

이것을 염두에 두고, 위의 덧셈 식을 관찰하면 재미난 사실을 알 수 있다. 즉 답에서 일의 자리 수인 ‘5’를 제거하면, 그 수는 항상 좌변의 다섯 번째 수라는 사실이다. 이것은 반대로 좌변의 다섯 번째 수에 5를 추가하면 열 개의 수를 더한 것의 답이 된다는 것이다. 그 이유는 무엇일까?

다음과 같이 생각하면 간단하다. 먼저 열 개의 수를 모두 더하고 10으로 나누어 보자. 값은 열 개 수의 평균이다. 평균이란 한가운데의 값을 말한다. 열 개의 수를 순서대로 나열했을 때, 왼쪽에서 다섯 번째와 여섯 번째 사이가 한가운데라는 것은 분명하다. 이를테면 13에서 22까지 열 개의 수일 경우, 17과 18 사이. 따라서 평균값은 17.5이다. 이것의 열 배가 처음에 구하고자 했던 열 개 수의 총합이 되는 것이다.

-p.15, '제1장 총합의 공식' 중에서

문제 : 13에서 22까지 순서대로 나열한 열 개의 수를 더하면 얼마가 될까? 물론 답을 구하는 것은 간단하다. 순서대로 나열한 열 개의 수를 순식간에 더할 수 있는 비법이 있다. 다음의 예제를 보고 그 비법을 발견해 보자.

13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=175
16+17+18+19+20+21+22+23+24+25=205
27+28+29+30+31+32+33+34+35+36=315
45+46+47+48+49+50+51+52+53+54=495
78+79+80+81+82+83+84+85+86+87=825