한 권으로 끝내는 수학

1부

제1장 수학의 역사 12
수학이란? 12 고대의 셈과 수 13 메소포타미아 수와 수학 17
이집트의 수와 수학 25 그리스와 로마 수학 32 기타 문화권의 고대 수학 40
중세 이후의 수학 42 현대 수학 54

제2장 역사 속 수학 62
0과 파이(π)의 탄생 62 도량형의 발전 67
역사 속 시간과 수학 88 역사를 통해 본 수학과 달력 94

2부

제3장 수학 개론 102
기초 산술 102 수에 관하여 105 또 다른 수들에 관하여 120
0의 개념 131 기본 수학적 연산 132 분수 142

제4장 수학 기초론 147
기초론과 논리학 147 수리논리학과 형식논리학 153
공리계 165 집합론 175
제5장 대수학 186
대수학의 기초 186 대수학 설명 187 대수적 연산 199
지수와 로그 202 다항방정식 211 기타 대수학 219 추상대수학 224

제6장 기하학과 삼각법 229
추상대수학 229 기하학의 기초 233 평면기하학 245 입체기하학 252
측정과 변환 256 해석기하학 262 삼각법 271 기타 기하학 279

제7장 수학적 해석학 283
해석학 기초 283 수열과 급수 289 미적분학 기초 295 미분학 300
적분학 308 미분방정식 313 벡터와 기타 해석학 318

제8장 응용수학 326
기초 응용수학 326 확률론 329 통계 343
모형화와 모의실험 356 응용수학의 다른 분야 360

3부

제9장 물리학 속 수학 366
물리와 수학 366 고전물리학과 수학 368 현대물리학과 수학 373
화학과 수학 378 천문학과 수학 383

제10장 자연과학 속 수학 394
지질학과 수학 394 기상학 속 수학 406 생물학 속 수학 419 수학과 환경 424

제11장 공학과 수학 429
기초 공학 429 토목공학과 수학 439 수학과 건축 442
전기공학과 재료과학 451 화학공학 453 산업공학과 항공공학 455

제12장 셈과 수학 460
고대의 셈 도구와 계산기 460 기계식 계산기와 전자계산기 467
현대 컴퓨터와 수학 477 응용 485

4부

제13장 인문학 속 수학 492
수학과 미술 492 수학과 사회과학 501 수학과 종교, 신비주의 504
상업과 경제학 속 수학 511 의학 및 법 속의 수학 517

제14장 일상생활 속 수학 522
일상생활 속의 수와 수학 522 야외 수학 531 신체와 수학 534
수학과 소비자의 돈 538 수학과 여행 546

제15장 레크리에이션 수학 552
수학 퍼즐 552 수학 게임 562 카드게임과 주사위게임 566
스포츠 속 숫자들 571 재미로 하는 수학 575

제16장 수학 자료 581
교육자료 581 단체와 학회 585 박물관 589 대중 자료 591 인터넷 검색 603

부록 610
부록1 측정체계 및 단위 610 부록2 로그표 613
부록3 도형의 넓이와 부피 계산 공식 622

찾아보기 625

서양 달력이 그리스도의 탄생과 함께 시작된 이유는?
오늘날 가장 많이 사용되는 달력인 서력(서양 달력)에 숨겨진 이야기는 6세기 중반으로 거슬러 올라간다. 교황 요한 1세는 다시안 수사와 학자인 디오니시우스 엑시구스(470~540, ‘작은 디오니시우스’라는 뜻임. 오늘날의 로마지역에서 태어남)로 하여금 앞으로 매년 부활절이 언제인지 그 날짜를 계산하도록 하였다. 교회에서 지키는 절기들을 기록한 달력인 교회력의 발명가로 알려진 디오니시우스는 로마 황제 디오클레티아누스가 통치하기 시작한 해를 기준으로 계산하는 달력 체계를 버리고, 그 대신 종교적 신념에 따라 예수가 탄생한 해를 기준으로 한 체계로 바꾸었다. 당시 로마숫자에서 0의 개념이 없었기 때문에 그 해를 ‘1년’이라고 하였다.

완전한 수 같은 것이 있을까?
완전한 수 같은 것이 있지만 완벽하게 완전한 것으로 생각하는 것은 아니다. 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합이 자기 자신과 같은 자연수를 ‘완전수’라고 한다. 예를 들어 6은 완전수이다. 6의 약수는 1, 2, 3, 6이고, 1＋2＋3＝6이기 때문이다. 완전수는 찾아보기 어렵다. 6 다음의 완전수는 28(1＋2＋4＋7＋14), 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …이다. 오늘날의 빠르고 성능 좋은 컴퓨터의 도움으로 보다 큰 완전수를 계속 발견하고 있다.

‘0’과 ‘0이 아니다’의 정의는?
인도-아라비아 수 체계를 사용하는 사람들은 ‘0’의 개념과 그 중요성을 익히 알고 있다. 기호 ‘0’은 중요한 자리지기를 나타낸다. 대수학에서는 덧셈에 대한 항등원이기도 하다. 즉, 어떤 수와 그 수의 역원을 더하면 0이 된다. 한편 0은 측정할 때 출발점이기도 하다. 0의 기호는 부호(a cipher) 또는 양의 부재를 나타내는 기호라고도 한다. 이때 사이퍼는 비밀 메시지를 보내는 것을 뜻하는 것이 아니다. 달리 말하면 0은 아무것도 없음을 의미한다. naught는 ‘not(na)’과 ‘thing(wiht)’을 뜻하는 고대 영어 n??wiht에서 유래한 말이다.
또한 수학자들은 0과 같지 않은 양을 나타내기 위해 ‘0이 아닌(non-zero)’이라는 단어를 사용한다. 0이 아닌 실수는 양수이거나 음수가 되어야 한다. 0이 아닌 복소수는 실수부 또는 허수부가 될 수도 있다.

가스계량기와 전기계량기의 수들은 무엇을 측정한 것일까?
가스계량기와 전기계량기는 보통 가정집이나 업무용 건물 등의 일일 가스 사용량이나 전력 사용량을 계량한다. 표준 전기계량기는 사용량을 기록하는 정확한 장치다. 가정집이나 사무실에 전류가 들어오면 계량기 안의 여러 개의 작은 톱니바퀴장치들이 움직인다. 계량기 안의 지침반이 회전수 및 소모된 전력량에 의한 회전속도를 기록한다. 좀 더 새로워진 디지털 계량기 모델들은 디지털방식으로 전기 사용량을 기록한다.
가스계량기는 가정집 혹은 사무실에서 사용한 가스양을 계량한다. 이 경우, 가스계량기는 가스관에서 가스가 이동하는 힘을 측정한다. 계량기에 부착된 지침반은 가스의 유입량이 늘어나면 빨리 돌고, 가스 유입량이 작으면 느리게 회전한다. 어때, 가스회사와 전력회사가 요금을 어떻게 부과하는지를 이해하기 위해 고객은 단지 간단한 수학만 이해하면 된다. 두 경우 모두 어느 달의 기록과 다음 달의 기록의 차에 따라 요금을 부과한다. 가령 이번 달의 전기 계량이 3,240㎾이고, 전월의 계량이 3,201㎾일 때 이번 달에 사용한 전기의 양은 39㎾다. 이에 따라 회사는 ㎾ 수에 kwh의 양을 곱하여 소비자에게 요금을 부과한다.

정치적 여론조사(political polling)는 어떤 방법으로 할까?
여론조사가 선거 결과나 제품광고에 대한 성공을 기막히게 예측하는 것처럼 보이지만, 사실 여론조사는 정보를 얻어 몇 가지 간단한 통계를 적용하는 것에 불과하다. 여론조사는 일부 주민의 태도나 의견을 밝히는 한 가지 기법이며, 정치, 경제 등 여러 가지 사회적 상황에 대하여 몇 가지 현안문제를 토대로 한다. 표본집단은 무작위 또는 다른 몇 방법으로 선택한다. 사람들은 투표기간 동안 실시하는 출구조사와 같이 전화 인터뷰나 메일로 보낸 설문지, 개별 인터뷰 등을 통해 여론조사에 참여할 수 있다. 평균이나 백분율 같은 통계는 대중의 전체적인 ‘경향’을 알아내는 데 활용된다. 많은 상업 여론조사원들은 그 결과가 시장조사 및 광고에 도움이 되는 것은 물론, 공개된 장소에서 사람들의 관심을 끌 수도 있다고 주장한다. 물론, 통계가 사용된다고 해서 여론조사가 확실하다거나 신뢰할만한 것은 아니다. 이를테면 몇몇 질문들은 사람들의 판단을 그르치게 할 수도 있다. 매체는 여론조사 시 마치 대다수의 사람들이 “아니오.”라고 대답할 것을 예상이라도 하는 것처럼 “주변 환경을 깨끗하게 유지하는 것이 중요하다는 것에 동의하십니까?”와 같은 질문을 하는 것으로 유명하다. 그런 질문은 종종 그 결과가 처음 질문과 함께 나타나지 않을 경우 여론조사 결과 자체가 문제가 될 수 있다. 또한 사람들의 거짓말과 부적절한 인터뷰 기법, 심지어 인터뷰한 사람들의 표본에 따라 잘못된 판단을 하거나 미심쩍은 결과가 나타날 수도 있다. 흔히 여론조사 결과는 여론을 흔들고 ‘시류에 편승하는’ 효과를 낳는 또 다른 결과를 낳기도 한다.