복소함수론과 그 응용

제 1 장 복소수_1
1. 합과 곱 _ 1
2. 기본적인 대수적 성질 _ 3
3. 또 다른 성질 _ 5
4. 벡터와 크기 _ 9
5. 켤레 복소수 _ 13
6. 지수 형식 _ 16
7. 지수 형식의 곱과 몫 _ 19
8. 곱과 몫의 편각 _ 21
9. 복소수의 거듭제곱근 _ 25
10. 거듭제곱근의 예 _ 28
11. 복소 평면의 구역 _ 32

제 2 장 해석 함수 _ 37
12. 복소 변수 함수 _ 37
13. 사상 _ 40
14. 지수 함수에 의한 사상 _ 44
15. 극한 _ 47
16. 극한에 관한 정리 _ 50
17. 무한 원점에서의 극한 _ 53
18. 연속 _ 55
19. 미분 _ 59
20. 미분 공식 _ 63
21. 코시ㆍ리만 방정식 _ 67
22. 미분할 수 있기 위한 충분 조건 _ 70
23. 극 좌표 _ 72
24. 해석 함수 _ 77
25. 해석 함수의 예 _ 79
26. 조화 함수 _ 82
27. 유일하게 결정되는 해석 함수 _ 88
28. 반사 원리 _ 90

제 3 장 초등 함수 _ 95
29. 지수 함수 _ 95
30. 로그 함수 _ 99
31. 로그 함수의 분지와 도함수 _ 101
32. 로그 함수와 관련된 등식 _ 104
33. 복소 지수 _ 107
34. 삼각 함수 _ 111
35. 쌍곡 함수 _ 116
36. 역 삼각 함수와 역 쌍곡 함수 _ 119

제 4 장 적분 _ 123
37. 함수 ?의 도함수 _ 123
38. 함수 ?의 정 적분 _ 125
39. 경로 _ 128
40. 경로 적분 _ 133
41. 경로 적분의 예 _ 136
42. 분지 절단이 있는 예 _ 139
43. 경로 적분의 크기에 대한 상계 _ 143
44. 원시 함수 _ 149
45. 원시 함수와 관련된 정리 증명 _ 153
46. 코시.구르사의 정리 _ 157
47. 코시.구르사의 정리 증명 _ 160
48. 단순 연결 영역 _ 165
49. 다중 연결 영역 _ 167
50. 코시의 적분 공식 _ 172
51. 코시의 적분 공식 확장 _ 174
52. 코시의 적분 공식 확장의 몇 가지 결과_ 177
53. 리우빌의 정리와 대수학의 기본 정리_ 182
54. 최대 크기 원리 _ 184

제 5 장 급수_ 191
55. 수열의 수렴 _ 191
56. 급수의 수렴 _ 194
57. 테일러 급수 _ 199
58. 테일러의 정리 증명 _ 201
59. 테일러 급수의 예 _ 203
60. 로랑 급수 _ 208
61. 로랑의 정리 증명 _ 210
62. 로랑 급수의 예 _ 214
63. 거듭제곱 급수의 절대 수렴과 고른 수렴_ 219
64. 거듭제곱 급수의 합의 연속성 _ 223
65. 거듭제곱 급수의 적분과 미분 _ 225
66. 급수 표현의 유일성 _ 229
67. 거듭제곱 급수의 곱셈과 나눗셈 _ 235

제 6 장 유수와 극점 _ 241
68. 고립 특이점 _ 241
69. 유수 _ 243
70. 코시의 유수 정리 _ 246
71. 무한대에서의 유수 _ 249
72. 세 가지 고립 특이점 _ 252
73. 극점에서의 유수 _ 256
74. 극점에서의 유수 셈 _ 258
75. 해석 함수의 영점 _ 262
76. 영점과 극점 _ 266
77. 고립 특이점 이웃에서 함수의 행동 _ 271

제 7 장 유수의 응용_ 277
78. 특이 적분의 값 찾기 _ 277 79. 특이 적분의 예 _ 280
80. 푸리에 해석학의 특이 적분 _ 286
81. 조르당의 보조 정리 _ 288
82. 오목한 경로 _ 294
83. 분지 점 주의의 오목한 경로 _ 298
84. 분지 절단 위에서의 적분 _ 301
85. 사인과 코사인이 포함된 정 적분 _ 306
86. 편각 원리 _ 309
87. 루셰의 정리 _ 312
88. 역 라플라스 변환 _ 317
89. 역 라플라스 변환의 예 _ 320

제 8 장 초등 함수에 의한 사상 _ 329
90. 선형 변환 _ 329
91. 변환 ??_ 331
92. ?에 의한 사상 _ 333
93. 선형 분수 변환 _ 337
94. 숨은 함수 꼴 _ 341
95. 상반평면의 사상 _ 344
96. 변환 ?? _ 350
97. ?과 ?의 분지에 의한 사상 _ 356
98. 다항 함수의 제곱근 _ 361
99. 리만 곡면 _ 367
100. 관련된 함수에 대한 리만 곡면 _ 371

제 9 장 한꼴 사상 _ 375
101. 각의 보존 _ 375
102. 신축 인자 _ 378
103. 국소적 역 변환 _ 380
104. 켤레 조화 함수 _ 384
105. 조화 함수의 변환 _ 386
106. 경계 조건의 변환 _ 388

제10장 한꼴 사상의 활용 _ 395
107. 정상 온도 _ 395
108. 반평면에서의 정상 온도 _ 397
109. 정상 온도와 관련된 문제 _ 400
110. 사분면에서의 온도 _ 402
111. 정전기 전위 _ 407
112. 원기둥 공간 안의 전위 _ 408
113. 이차원 유체 흐름 _ 412
114. 유선 함수 _ 415
115. 구석과 원기둥 주위에서의 흐름 _ 417

제11장 슈바르츠 ? 크리스토펠 변환 _ 425
116. 실수 축의 꺾인 선 위로의 사상 _ 425
117. 슈바르츠?크리스토펠 변환 _ 427
118. 삼각형과 직사각형 _ 431
119. 쪼그라든 꺾인 선 _ 435
120. 실틈을 통한 통로에서의 유체 흐름 _ 440
121. 너비가 바뀌는 통로에서의 흐름 _ 443
122. 도체 판 모서리에서의 정전기 전위 _ 446

제12장 푸아송 형태의 적분 공식 _ 451
123. 푸아송의 적분 공식 _ 451
124. 원판에 대한 디리클레 문제 _ 454
125. 관련된 경계 값 문제 _ 460
126. 슈바르츠의 적분 공식 _ 463
127. 반평면에 대한 디리클레 문제 _ 464
128. 노이만 문제 _ 468

부록 1 : 참고문헌 _ 473
부록 2 : 구역의 변환 표 (제8장을