수학 영재교육 길잡이

제1부 수학영재 교사를 위한 자료
제1장 수학영재교육 논의 / 17
제2장 수학교육 연구논문 모음 / 91
제3장 중등학교 수학영재 교사연수 자료 / 167

제2부 수학영재 학생을 위한 자료
제4장 과학고 사사교육 R&E 보고서 / 245
제5장 수학영재교육 자료모음 / 359
제6장 산학문제: 기초도형 탐구문제와 그 풀이 / 411

찾아보기 / 465

머리말

지난 2012년 수학영재교육길잡이 2판이 출판된 이후, 4년이 지나 대학출판부로부터 3판 출판의 요청으로 새롭게 단장된 제3판이 나오게 되었다.
그동안 제1부 수학영재교사를 위한 자료 중 시의에 맞지 않는 많은 부분을 삭제하고, 새롭게 연구되었던 정칠각형 타일링 연구와 수도쿠와 수학에 대한 자료들을 새롭게 제공하였다.
특히, 필자가 수년간 많은 수도쿠 문제들을 직접 풀어보고 그 풀이방법과 수도쿠와 수학의 관련성에 관한 논의들을 수록했다.
또한, 제2부 수학영재학생을 위한 자료는 2판의 내용을 알기 쉽게 교정만 하여 편집하였다, 다만 그림으로 증명하기 단원은 MAA(미국수학교육자회)가 발간한 Math Magazine에 수록된 것 중에서 적합한내용을 보충 추가했다.
세월이 지나 몇 년 전에 필자는 대학을 정년퇴임하였고, 초등학생인 손자들의 수학교육을 돌보며 그들이 성장하여 읽을 수 있는 수학영재교육자료를 마련해 보겠다는 생각으로 제2판을 수정 보완해서 수학영재교육길잡이 제3판을 발간하게 되었다.
이 책을 활용하여 초ㆍ중등학생들을 지도함에 있어서 담당하는 교사는 이 책의 각 소주제들에 대한 예비 지식들과 기초개념을 학생들에게 안내하고 지도한 후에 제공하는 것이 좋다고 생각한다. 학생들의 수학적 소양의 깊이에 따라 활용하기를 바란다.
대학에서 수학영재교육자료과목으로 강의되거나 또는 각급 영재학교에서 수학영재교육자료로 많이 활용되기를 기대하며 수학교사들과 수학영재학생들의 많은 관심을 바란다.
끝으로, 忠恕軒에서 원고정리를 하며 모든 분들께 감사의 뜻을 전한다.

2016년 11월
박종률 교수

제1부 수학영재 교사를 위한 자료
제1장 수학영재교육 논의

한국과학재단에서 1998년 과학 영재에게 적절한 교육을 제공하고 가능성을 최대한 계발하여 과학기술 선진국 진입을 위한 토대를 마련하려는 목적으로 권역별 과학영재교육센터 사업을 시행하였다. 2000년 1월에 영재교육진흥법이 공포되고, 2002년 4월 영재교육진흥법시행령이 공포 시행됨으로써 영재교육의 활성화에 새로운 전기를 맞게 되었다. 국가발전에 필요한 소수의 창의적 인력을 국가차원에서 개발, 육성하기 위한 새로운 교육시스템으로서 2002년 5개년 영재교육진흥종합계획에 따라 전국적으로 각 지방자치단체에 과학영재교육원을 200여개 설치하게 되었으며, 2007년까지 영재교육 대상학생을 4만명(0.5%)으로 확대하고 전국적으로 영재교육 담당교사를 8,000명 양성하는 계획을 추진하고 있다.
첫 번째는 대한수학회 주관으로 수학영재의 선발과 교육현황에 대한 세미나의 주제발표로 중등수학 영재선발과 영재교육을 발표하였다. 이것은 전국 각 대학교에서 운영하는 과학영재교육원의 현황분석과 교육방법이 소개되었으며, 대학에서 운영하는 수학영재교육의 현황을 소개한 최초의 자료가 되었다.
두 번째로 수학영재교육과 학부모의 역할은 광주시내 일곡초등학교 학부모 대상으로 강의한 내용이다. 영재아동의 타고난 재능을 뛰어난 수준의 성취로 이끌기 위해서는 부모의 역할이 매우 중요하며 과학영재교육의 올바른 방향을 바르게 이해하는 것이 중요할 것이다.
세 번째는 수학 영재아동의 반응특성을 고찰하고 다답형 문항에 대한 학생들의 반응을 평가하여 영재성을 측정할 때의 유의할 점을 제안했다.
네 번째는 수학 영재학생의 사사독립연구 산출물 분석한 사례연구로서 사사독립연구를 통하여 영재학생에게 창의적 문제해결 능력과 의사소통능력이 향상되고 자신에 대한 자기 신뢰감이 상승된다는 연구 결과를 얻었다.
다섯 번째는 대한수학회 회보에 게재한 것으로 한국 수학교육 전반에 걸친 초ㆍ중ㆍ고등 및 대학교 수학교육에 있어서 지향할 정책의 방향과 개선점에 대하여 논의한 것이다.

1. 중등수학 영재선발과 영재교육

1. 시작하는 글

21세기는 새로운 지식을 창조할 수 있는 인재가 국가 발전을 이끄는 시대이므로, 세계 여러 나라가 영재교육에 관심을 쏟고 있다. 미국, 영국, 러시아, 독일, 호주, 이스라엘, 싱가포르 등이 영재교육에 관한 관련법을 제정하여 영재교육을 실시하고 있으며, 우리나라도 최근 영재교육진흥법을 제정하였다.
영재교육진흥법이 발효되고 교육인적자원부의 영재교육 종합안이 발표됨에 따라, 각 시도교육청마다 영재교육원을 신설하고 영재교육 담당 교사 연수를 실시하는 등 영재교육이 양적으로 확대되고 있다. 이러한 시점에서 현재 우리나라 중등 수학영재교육의 현황을 조망하고 앞으로 나아갈 방향을 모색하고자 한다.
수학영재교육을 성공적으로 수행하려고 하면 다음 세 가지 문제에 대하여 긍정적으로 답할 수 있어야 할 것이다.
(1) 적절한 영재 판별 방법을 사용하여 영재를 선발하고 있는가?
(2) 영재의 능력과 적성에 맞는 교육 과정(내용)을 마련하고 있는가?
(3) 적절한 방법으로 교육 프로그램을 운영하고 있는가?
이에 본 고에서는 전국의 대학 부설 과학영재교육원과 외국의 영재교육기관에서 운영되고 있는 수학영재교육을 중심으로, 학생 선발 방법과 기준, 영재 교육 내용, 교육 운영 방법을 비교 분석하여 현재 중등 수학영재교육을 개관하며, 이를 기초로 좀더 바람직한 수학영재교육의 방향을 논의해 보고자 한다.

2. 학생 선발

영재를 제대로 발굴, 선발하는 것은 영재교육의 성공을 향한 바른 출발점이다. 영재가 아닌 학생을 영재로 잘못 판별하여 교육하는 것도 일종의 낭비라 할 수 있을 것이며, 적절한 판별 도구를 사용하지 못해 숨어 있는 영재를 발굴하지 못하는 우를 범해서도 안될 것이다.
영재교육진흥법에는 영재를 ‘재능이 뛰어난 사람으로서 타고난 잠재력을 계발하기 위하여 특별한 교육을 필요로 하는 자’로 규정하고 있다(제2조). 또 고등학교 과정 이하의 각급 학교에 취학한 자 중에서 일반 지능, 특수 학문 적성, 창의적 사고 능력, 예술적 재능, 신체적 재능, 기타 특별한 재능에 대하여 뛰어나거나 잠재력이 우수한 사람 중 영재판별 기준에 의거 판별된 사람을 영재교육대상자로 선정한다고 하고 있다(제5조). 한편, 영재교육진흥법시행령은 제12조에서 영재교육대상자의 판별ㆍ심사ㆍ선정의 기준은 다음에 해당하는 경우로 한다고 규정하고 있다.
표준화된 지능검사ㆍ사고력검사ㆍ창의적 문제해결력검사 또는 그 밖의 소정검사ㆍ면접ㆍ관찰의 방법에 의하여 특정교과 또는 특정분야에서 일정수준 이상의 뛰어난 재능 또는 잠재력이 있다고 인정될 것.
그러므로 영재교육진흥법 시행령 상, 수학 영재의 선발에 사용할 수 있는 명시적인 방법으로 다음 네 가지가 제시되어 있다고 하겠다.
① 지능 검사
② 사고력 검사
③ 창의적 문제 해결력 검사
④ 면접ㆍ관찰ㆍ기타 소정의 검사

다음 <표 1>에는 전국 대학 부설 과학영재교육원의 학생 선발 과정이 간단히 정리되어 있다.
다음 표를 보면, 각 영재교육원마다 약간의 차이가 있기는 하나 대개 학교장 추천 또는 경시대회 입상자들을 대상으로 창의적 문제(과제) 해결력이나 사고력 평가를 위한 지필고사를 실시하고 있으며, 지필고사 이외에 구술고사, 적성검사, 면접이 활용되고 있음을 알 수 있다. 영재교육진흥법시행령에 나온 네 가지 중 ① 지능 검사를 제외한 나머지 세 가지 방법이 사용되고 있는 것이다.
지능 검사가 수학 영재 선발에 중요 자료로 사용되지 않는 것은 일반 지능 검사가 특정 분야의 영재성을 제대로 판별해 낼 수 있는 도구인가에 대한 논란의 문제, 또 현실적으로 선발 과정에서 사용할 수 있는 지능 검사들이 대부분 기 개발된 지능 검사지라서 시중에서 어렵지 않게 접할 수 있다는 문제 등의 영향이 있는 것으로 보인다. 자칫 지능 검사를 선발 과정에 잘못 사용하면 공정성의 문제가 야기될 수 있다. 실제로 일부 시도교육청에서 신설 영재교육원의 학생 선발 과정에서 지능 검사를 선발에 사용하다가 공정성의 문제가 야기된 일도 있다. 적성 검사도, 영재 입시의 당락에 예민한 관심을 가지고 있는 학부모들을 생각할 때, 선발에 어떤 형식으로 사용할 수 있을지 고민을 요하는 문제로 보인다.

수학적 사고력 및 창의적 문제 해결력을 검사하는 시험을 모든 영재교육원에서 대개 지필고사의 형태로 실시하고 있다. 그런데 이러한 시험에서 사용되는 문제들이 정말로 사고력과 창의성을 측정할 수 있는 문항인가를 반성해 볼 필요가 있다. 일례로, 창의성 측정과 관련하여 주어진 문제에 대해 여러 가지 적절한 반응을 제시하는가를 보는 다답형 문항과 같은 확산적 산출물 검사가 주목을 받아 왔다. 아래 <예>와 같은 다답형 문항을 창의적 문제 해결력 검사 문항으로 사용하였다. 문제 1번에서 8번은 ‘5n＋3은 3n－7로 나누어 떨어지도록 하는 양의 정수 n의 값 중 가장 큰 수을 구하여라.’와 같은 일반적인 다소 깊은 수학적 사고를 요하는 문제들이다.

똑같은 방법으로 바둑알을 계속 놓았다고 할 때 다섯 번째 그림에 놓여 있는 바둑알을 세어보려고 한다. 바둑알을 세는 여러 가지 방법들을 제시하여라.

1998년 1년간의 교육 활동이 끝난 후에 성취도 평가를 실시하고 성취도 검사 성적과 선발 고사의 성적과의 관련을 분석하였다. 선발 고사의 문제 1－8과 성취도 검사 사이에는 양의 상관 관계가 있으며 상관 계수는 0.58로 나타났다. 그런데 다답형 문항인 선발 고사 문제 9－12에 대한 학생들의 성적과 성취도 검사 성적은 거의 무관한 것으로 나타났다. 그리고 선발 고사 문제 9－12와 문제 1－8의 성적간의 상관 관계는 오히려 약한 음의 상관 관계가 있는 것으로 나타났다.

이 결과는 답이 여러 개인 문제를 통해 측정하려는 능력이 기존의 문제로 측정되지 않는 독립적인 능력임을 시사하는 동시에, 다답형 문제에 답하는 능력, 특히 소박한 의미의 유창성을 수학적 영재성의 주요 특징으로 보는 것이 타당한가에 대해 문제를 제기한다. 최근 유창성보다는 독창성이나 정교성에 중점을 두어 평가할 필요가 있다는 주장이 나오고 있다(조석희, 2002). 영재 선발과 같이 몇 문항 출제되지 않는 시험에서, 깊은 사고를 해야 풀 수 있는 수학 문제의 점수는 낮으면서 다답형 문항에서 좋은 점수를 받은 학생이 그 반대 경우의 학생을 제치고 선발되는 경우도 생길 수 있으므로 다답형 문제의 채점규준이 적절하게 적용되도록 세심한 주의를 기울여야 한다.
실제 영재 선발 고사 출제를 할 때, 제한된 인력으로 창의적 문제 해결력을 평가하는 문항을 만드는 데 많은 어려움이 있다. 이는 다른 대학 부설 영재교육원이나 시도교육청 부설 영재교육원의 경우에도 마찬가지일 것으로 생각된다. 전국적으로 수학적 창의성 평가 문항을 개발하는 영재교육원 연합 기구의 구성을 고려할 필요가 있을 것으로 보인다.
창의적 문제 해결력을 평가하는 문항을 만들기 어려운 데는 인력과 시간의 제한이라는 현실적인 요인도 있지만, 막상 그러한 문항을 만들려고 할 때 사용할 수 있는 틀이 빈약하기 때문이 아닌가 싶다. 창의성과 관련하여 유창성, 독창성, 정교성, 융통성과 같은 요인들이 많이 거론되는데, 실제 문항을 개발하기 위해서는 이보다 더 정교한 틀이 개발되어야 할 것이다. 그리고 이런 연구에 의해 개발된 틀을 가지고 각 영재교육원에서 개발한 수학적 사고력 및 창의성 검사 문항들이 적절한 것인지 여부 등을 심층적으로 분석하는 작업도 이루어져야 할 것 같다.
구술고사가 몇 개 대학 영재교육원 선발 시험으로 실시되고 있다. 구술고사는 지필고사로 알아보기 어려운 측면을 파악할 수 있으므로 학생 선발에 상당한 도움이 될 것으로 보인다. 다만 제한된 시간의 구술고사라는 점을 십분 고려해서 조심스럽게 사용해야 할 것 같다.
또 대부분의 영재교육원이 학교장 추천 퍼센트를 제한하거나 학교당 추천 가능 인원을 제한하는 등의 방식으로 초기 시험 응시자의 수를 제한하고 있다. 이것은 현실적으로 응시자가 너무 많은 경우 시험 관리의 어려움이 있기 때문에 어쩔 수 없는 면이 있기는 하다. 그렇지만 초, 중학교의 현실을 고려할 때, 수학에 특수한 재능이 있는 학생들이, 기말 고사에서 한 문제 실수하여 내신이 좋지 않아 학교장 추천을 받지 못하는 경우가 생길 가능성도 없지 않다. 또 학교 현장에서도 추천 대상자 수가 적어 추천할 학생을 정하는 데에 적지 않은 애로가 있는 것으로 알고 있다. 그러므로 초기 응시자의 수를 가급적 확대하는 것이 바람직할 것 같다. 관리상의 어려움이 있겠으나, 채점의 문제라면 1차 시험을 선택형 또는 단답형 문항으로 출제하면 상당 부분 해소될 수 있을 것으로 보인다.

3. 교육 내용

영재를 적절히 선발하였다고 하면, 그 다음 문제는 영재들의 적성과 능력에 맞는 교육내용을 선정하는 것, 곧 영재의 재능을 최대한 계발해 줄 수 있는 교육내용을 선정하는 것이다.
지난 몇 년간 각 과학영재교육원에서는 나름의 고유한 교육 내용을 개발하여 왔다. 다음 <표 2>에는 전국 대학 부설 과학영재교육원의 수학영재교육에서 다루는 주요 내용 및 주제들이 정리되어 있다. 이하에서는 이 내용을 기초로 교육 내용과 관련한 몇 가지 논의를 해 보고자 한다.

위의 표를 보면 교육 내용 구성에 있어 영재 교육원마다 특색이 있음을 볼 수 있다. 영재교육원에 따라, 중학교 교육과정 관련 주제 순으로 심화형 교육 과정을 구성한 경우도 있고, 중학교 교육과정과 무관한 참신한 주제로 심화형 교육 과정을 구성한 경우도 있으며, 지수로그, 미적분 등의 내용을 포함한 속진형으로 구성한 경우도 있다.
우선 이러한 다양성은 긍정적인 것으로 보아야 할 것 같다. 획일적인 하나의 철학에 따라 모든 영재교육원이 동일한 교재를 개발하고 사용하는 것보다는 이렇게 각자의 고유한 철학과 여건에 따라 다양한 교재를 개발하고 발전시켜 가는 것이 의미가 있을 것이다.
다른 한편, 위의 표를 살펴보면 적지 않은 내용이 거의 모든 영재교육원에서 다루어지고 있음을 볼 수 있다. 이것은 지난 몇 년간의 교육 활동을 통해 일종의 코어 커리큘럼이라고 할 만한 공통성이 형성되고 있음을 말하는 것 같다.
영재 교육 프로그램이 속진형과 심화형 중 어느 쪽이 더 바람직한지에 대한 합의는 이루어져 있지 않고, 심화형도 많은 경우 그 내용에서 일부 속진을 다루는 형태가 되기 쉬우므로 그 경계가 불분명한 점도 없지는 않다. 그렇지만 크게 볼 때 어떤 교육 내용이 전체적으로 속진을 지향하는가 심화를 지향하는가는 판단할 수 있다.
심화형은 영재 학생이 속해 있는 학교 학년급의 정규 교육과정의 범위를 크게 벗어나지 않으면서 정규 교육과정의 내용과 관련이 깊은 내용으로 교재를 구성하는 것이다. 학습자의 학습 능력은 속도와 깊이의 두 면에서 생각해 볼 수 있는데, 심화형은 속도보다는 깊이에 대응하여 정규 교육과정에 제시되어 있는 학습 내용을 깊이의 측면에서 확장한다. 정규 교육과정에 제시된 내용의 깊이를 심화시키는데 필요하다면 정규 교육과정에 제시되어 있지 않는 주제나 수학적 활동도 사용될 수 있다. 예를 들어 학교에서 삼각형의 오심을 학습한 중학생 영재아들에게 GSP를 사용하여 삼각형의 오심과 관련된 성질을 더 깊이 탐구할 수 있도록 하는 프로그램은 심화에 해당한다고 하겠다.