원론 1 (제1, 2, 3권)

옮긴이 머리말 iii

제1권 평면 기하학의 기초 1
1.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
정의 1.1: 점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
정의 1.2: 선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
정의 1.3: 선의 양 끝 . . . . . . . . . . . . . . . 2
정의 1.4: 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
정의 1.5: 면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
정의 1.6: 면의 끝 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
정의 1.7: 평면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
정의 1.8: 평면 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
정의 1.9: 선분 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
정의 1.10: 직각과 수선 . . . . . . . . . . . . . . 5
정의 1.11: 둔각 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
정의 1.12: 예각 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
정의 1.13: 경계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
정의 1.14: 도형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
정의 1.15: 원, 원주, 반지름 . . . . . . . . . . . 6
정의 1.16: 원의 중심 . . . . . . . . . . . . . . . 7
정의 1.17: 원의 지름과 현 . . . . . . . . . . . . 7
정의 1.18: 반원과 반원의 중심 . . . . . . . . . . 7
정의 1.19: 선분도형, 삼별형 도형, 사변형 도형, 다변형 도형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
정의 1.20: 정삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형 8
정의 1.21: 직각삼각형, 둔각삼각형, 예각삼각형 9
정의 1.22: 정사각형, 직사각형, 마름모, 평행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
정의 1.23: 평행 선 . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 공준 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
공준 1: 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
공준 2: 선분의 연장 . . . . . . . . . . . . . . . 11
공준 3: 원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
공준 4: 직각 크기의 동일성 . . . . . . . . . . . 12
공준 5: 두 선분 연장선의 만남 . . . . . . . . . 12
1.3 일반 이치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
일반 이치 1: 같은 크기에 대한 추이 법칙 . . . . 13
일반 이치 2: 크기와 합 . . . . . . . . . . . . . . 13
일반 이치 3: 크기와 차 . . . . . . . . . . . . . . 13
일반 이치 4: 포개짐과 크기 . . . . . . . . . . . 13
일반 이치 5: 부분과 전체의 크기 . . . . . . . . 13
1.4 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
정리 1.1: (작도) 주어진 선분이 한 변이 되는 정삼각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
정리 1.2: (작도) 주어진 선분과 길이가 같고 주어진 점이 끝점이 되는 선분 . . . . . . . 17
정리 1.3: (작도) 주어진 긴 선분을 주어진 짧은 선분의 길이만큼 절단하기 . . . . . . . . 22
정리 1.4: 두 삼각형에서 대응되는 두 옆변이 각각 길이가 같고 대응되는 끼인각이 크기가 같은 두 삼각형의 포개짐 . . . . . . . 25
정리 1.5: 이등변삼각형의 두 밑각 크기의 동일성 27
정리 1.6: 삼각형에서 크기가 같은 두 각의 마주보는 두 변의 길이 동일성 . . . . . . . . 30
정리 1.7: 세 변의 길이에 대한 삼각형의 포개짐 32
정리 1.8: 두 삼각형에서 대응되는 두 변이 각각 길이가 같고 대응되는 밑변이 길이가 같을 때 대응되는 끼인각의 크기 동일성 . . 34
정리 1.9: (작도) 선분 각의 이등분 . . . . . . . 36
정리 1.10: (작도) 선분의 이등분 . . . . . . . . 38
정리 1.11: (작도) 선분의 수선 . . . . . . . . . . 40
정리 1.12: (작도) 연장선과 그 위에 있는 않는 점에 대하여, 그 점이 끝점인 연장선의 수선 42
정리 1.13: 선분에 세워진 다른 선분이 만드는 두 이웃각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
정리 1.14: 한 끝점을 공유한 두 선분이 하나의 선분에 놓이기 위한 충분조건 . . . . . . 46
정리 1.15: 두 선분이 만드는 맞꼭지각의 크기 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
따름정리 1.1: 교차하는 두 선분이 만드는 네 각의 크기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
정리 1.16: 삼각형의 외각과 마주 보는 변에 접한 내각의 크기 비교 . . . . . . . . . . . 50
정리 1.17: 삼각형의 두 내각의 크기 . . . . . . . 52
정리 1.18: 삼각형의 두 내각에서 더 긴 변에 마주 보는 내각 . . . . . . . . . . . . . . . 54
정리 1.19: 삼각형 두 옆변에서 더 큰 내각에 마주 보는 옆변 . . . . . . . . . . . . . . . 56
정리 1.20: 삼각형의 두 변과 나머지 변의 길이 비교 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
정리 1.21: 삼각형에서 밑변과 내부의 점으로 만들어지는 삼각형의 성질 . . . . . . . . . 60
정리 1.22: (작도) 주어진 세 선분과 길이가 같은 세 변의 삼각형 . . . . . . . . . . . . 63
정리 1.23: (작도) 주어진 선분 각과 크기가 같은 선분 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
정리 1.24: 두 옆변이 대응하는 두 옆변과 각각 길이가 같은 두 삼각형에서 끼인각 크기에 대한 밑변의 길이 . . . . . . . . . . . 69
정리 1.25: 두 옆변이 대응하는 두 옆변과 각각 길이가 같은 두 삼각형에서 밑변의 길이에 대한 끼인각 크기 . . . . . . . . . . . 72
정리 1.26: 두 각과 한 변에 대한 삼각형의 합동성 74
정리 1.27: 두 선분이 평행하기 위한 엇각에 대한 충분조건 . . . . . . . . . . . . . . . . 78
정리 1.28: 두 선분이 평행하기 위한 외각과 내각에 대한 충분조건 . . . . . . . . . . . . 80
정리 1.29: 두 선분이 평행하기 위한 엇각과 외각과 내각에 대한 필요조건 . . . . . . . . 82
정리 1.30: 두 선분이 평행하기 위한 충분조건 . 84
정리 1.31: (작도) 주어진 점을 지나고 주어진 선분과 평행한 선분 . . . . . . . . . . . . 86
정리 1.32: 삼각형의 세 내각의 크기 . . . . . . . 88
정리 1.33: 길이가 같은 두 평행 선분이 만드는 평행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . . 90
정리 1.34: 평행사변형의 성질 . . . . . . . . . . 92
정리 1.35: 밑변이 공통이고 밑변과 위변이 평행한 두 선분에 놓인 평행사변형들의 넓이 95
정리 1.36: 밑변들이 길이가 같고 밑변과 위변이 평행한 두 선분에 놓인 평행사변형들의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
정리 1.37: 밑변이 같고 밑변과 그 마주 보는 꼭짓점이 평행한 두 선분에 놓인 삼각형들의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
정리 1.38: 밑변의 길이가 같고 밑변과 그 마주 보는 꼭짓점이 평행한 두 선분에 놓인 삼각형들의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . 101
정리 1.39: 밑변이 같고 밑변에 대해 같은 쪽에 놓이며 넓이가 같은 삼각형 . . . . . . . . 103
정리 1.40: 밑변들이 길이가 같고 같은 선분에 놓이며 밑변에 대해 같은 쪽에 놓인 넓이가 같은 삼각형들 . . . . . . . . . . . . . 105
정리 1.41: 밑변이 같고 평행한 두 선분에 놓인 평행사변형과 삼각형 . . . . . . . . . . . 107
정리 1.42: (작도) 한 내각이 주어진 선분 각과 크기가 같고 주어진 삼각형과 넓이가 같은 평행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . 109
정리 1.43: 평행사변형의 대각선과 부분 평행사변형들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
정리 1.44: (작도) 주어진 선분을 한 변으로 하고 한 내각이 주어진 각과 크기가 같고 주어진 삼각형과 넓이가 같은 평행사변형 114
정리 1.45: (작도) 한 내각이 주어진 각과 크기가 같고 주어진 다각형과 넓이가 같은 평행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
정리 1.46: (작도) 주어진 선분이 한 변이 되는 정사각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
정리 1.47: (피타고라스의 정리) 직각삼각형에서 빗변에 세워진 정사각형과 다른 두 변에 세워진 두 정사각형의 넓이 동일성 . . 127
정리 1.48: 한 변에 세워진 정사각형이 다른 두 변에 세워진 두 정사각형과 넓이가 같은 삼각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

제2권 도형의 넓이: 기하학적 대수학 137
2.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
정의 2.1: 두 변이 가로세로인 직사각형 . . . . . 138
정의 2.2: 그노몬 . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
정리 2.1: 한 변의 유한 절단을 이용한 직사각형의 분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
정리 2.2: 한 변의 절단을 이용한 정사각형의 분해142
정리 2.3: 한 변의 절단을 이용한 직사각형의 직사각형과 정사각형으로의 분해 . . . . . . 144
정리 2.4: 두 양의 실수의 합의 제곱에 대한 공식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . 146
정리 2.5: 두 양수의 합과 차의 곱에 대한 공식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . . 151
정리 2.6: 두 양수의 합과 차의 곱에 대한 공식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . . 154
정리 2.7: 두 양의 실수의 차의 제곱에 대한 공식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . 157
정리 2.8: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제곱의 비교에 대한 기하적 표현 . . . . . . 161
정리 2.9: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제곱의 합에 대한 공식의 기하적 표현 . . . 167
정리 2.10: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제곱의 합에 대한 공식의 기하적 표현 . . . 174
정리 2.11: (작도) 특정 이차방정식의 기하적 풀이183
정리 2.12: 둔각삼각형에 대한 피타고라스 정리의 일반화 . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
정리 2.13: 예각삼각형대한 피타고라스 정리의 일반화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
정리 2.14: (작도) 주어진 다각형과 넓이가 같은 정사각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

제3권 원 201
3.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
정의 3.1: 넓이가 같은 두 원 . . . . . . . . . . . 202
정의 3.2: 원에 접하는 선분 . . . . . . . . . . . 202
정의 3.3: 접하는 두 원 . . . . . . . . . . . . . . 203
정의 3.4: 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현 203
정의 3.5: 원의 중심에서 더 멀리 있는 현 . . . . 203
정의 3.6: 활꼴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
정의 3.7: 활꼴의 각 . . . . . . . . . . . . . . . 204
정의 3.8: 활꼴각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
정의 3.9: 윈에서 호에 놓인 각 . . . . . . . . . . 205
정의 3.10: 부채꼴 . . . . . . . . . . . . . . . . 205
정의 3.11: 닮은 활꼴 . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
정리 3.1: (작도) 원의 중심 . . . . . . . . . . . . 207
따름정리 3.1: 원에서 현이 지름이기 위한 충분조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
정리 3.2: 원에서 현의 내부성 . . . . . . . . . . 211
정리 3.3: 원에서 지름에 의한 현의 이등분과 현의 직교성 . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
정리 3.4: 원에서 중심을 지나지 않는 두 현이 교차할 때 동시 이등분의 불가능성 . . . 219
정리 3.5: 만나면서 서로 두 조각으로 나뉘는 두 원의 중심 . . . . . . . . . . . . . . . . 222
정리 3.6: 접하는 두 원의 중심 . . . . . . . . . . 224
정리 3.7: 원에서 중심이 아닌 안점에서 원주의 점까지의 선분 . . . . . . . . . . . . . . . 226
정리 3.8: 원에서 바깥점에서 원주의 점까지의 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
정리 3.9: 원에서 안점이 원의 중심이기 위한 충분조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
정리 3.10: 두 원의 교차점의 개수 . . . . . . . . 242
정리 3.11: 한 원이 안에서 다른 원과 접할 때 접점과 중심들의 일직선성 . . . . . . . . 244
정리 3.12: 한 원이 바깥에서 다른 원과 접할 때 접점과 중심들의 일직선성 . . . . . . . . 246
정리 3.13: 접하는 두 원의 접점의 개수 . . . . . 248
정리 3.14: 원에서 현의 길이와 중심까지의 거리 250
정리 3.15: 원에서 현들의 길이 . . . . . . . . . 254
정리 3.16: 원에서 지름의 끝점에서 시작되는 지름의 수선 . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
따름정리 3.2: 원에서 지름의 끝점에서 시작되는 지름의 수선의 접선 성질 . . . . . . . 261
정리 3.17: (작도) 주어진 점에서 주어진 원에 접하는 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . 262
정리 3.18: 선분이 원에 접할 때, 접점과 중심을 연결하는 반지름과 접선의 직교성 . . . . 266
정리 3.19: 선분이 원에 접할 때, 접점에서 접선의 수선과 주어진 원의 중심 . . . . . . . 268
정리 3.20: 원에서 호 위에 놓인 중심각은 원주각의 두 배 . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
정리 3.21: 동일한 활꼴의 활꼴각 크기 동일성 . 273
정리 3.22: 원에 내접하는 사각형의 마주 보는 두 각의 크기 . . . . . . . . . . . . . . . 275
정리 3.23: 선분 위의 닮은 활꼴의 유일성 . . . . 278
정리 3.24: 길이가 같은 선분 위의 닮은 활꼴들의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
정리 3.25: (작도) 주어진 활꼴에 대한 전체 원 . 281
정리 3.26: 원에서 크기가 같은 각들의 밑에 놓인 호의 길이 동일성 . . . . . . . . . . . 286
정리 3.27: 원에서 길이가 같은 호들에 놓인 각의 크기 동일성 . . . . . . . . . . . . . . 288
정리 3.28: 원에서 길이가 같은 현에 잘린 호들의 길이 동일성 . . . . . . . . . . . . . . 290
정리 3.29: 넓이가 같은 원에서 길이가 같은 호들을 마주 보는 현들의 길이 동일성 . . . 293
정리 3.30: (작도) 호의 이등분 . . . . . . . . . . 295
정리 3.31: 활꼴의 활꼴각과 활꼴의 각의 크기 . 297
정리 3.32: 접점에서 원의 접선과 현이 이루는 각과 반대쪽 활꼴의 활꼭각의 크기 동일성301
정리 3.33: (작도) 주어진 각과 크기가 같은 활꼴각이 있는 주어진 선분에 놓인 활꼴 . . 304
정리 3.34: (작도) 원에서 주어진 각과 크기가 같은 활꼴각이 있는 활꼴 . . . . . . . . . 313
정리 3.35: 원에서 두 현이 교차할 때 현의 두 부분의 길이 곱의 동일성 . . . . . . . . . 315
정리 3.36: 원의 바깥점에서 출발한 선분이 원과 두 점에서 만날 때 두 점까지의 거리 곱의 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
정리 3.37: 원의 바깥점에서 출발한 선분이 원과 두 점에서 만날 때 두 점까지의 거리 곱을 이용한 접선의 판정법 . . . . . . . . . . . . 328
찾아보기 331