깨달음에서 바라본 수학

머리말
진리는 무엇인가?
<두 가지 다른 관점>
<지난 세기의 근본적이고도 엄밀한 성과>

I. 수의 실상과 다시 쓰는 수학의 기초

1. 수론
2. 유리수 - 배중율, DIGITAL(확실성)
<하디 G. H. Hardy>
3. 무리수 - 반배중율, ANALOG(불확실성)
4. 무리수와 시간의 철학적 의의
5. 음수와 복소
6. 수의 실상
7. 항등원
8. 역동적인 공, 0
9. 공집합에서 드러나는 공성

II. 유클리드 기하학을 기반으로 한 수학의 신화

1. 플라톤
2. 유클리드 기하학
3. 정의와 공리
4. 케플러
5. 갈릴레오
6. 뉴턴
7. 근세 수학의 5대 발견
8. 18~19세기

III. 집합론과 역설의 발견

1. 칸토어의 무한에 대하여
<칸토어의 연속체 가설>
2. 케사르 부랄리-포르티의 폭로
3. 바나흐-타르스키 패러독스
4. 러셀의 역설
5. 괴델의 불완전성 정리에 대하여
<불완전성 정리에 대한 선(禪)의 코멘트>
6. 칸토어, 러셀, 괴델의 패러독스
7. 네 가지 패러다임

IV. 충격과 흔들리는 기초

1. 비유클리드 기하학의 출현
2. 산술과 대수의 참됨에 대한 회의
3. 실상(實相)과 가상(假相)
4. 무한급수에서 드러나는 혼란
5. 서구사상에서 충격의 역사
6. 일체 학문의 원류인 자성
7. 수학의 역사적 조명과 수학과 과학의 분리
8. 수학이 역설에 부딪혀서 밝혀낸 사실들과 증명들의 의미

V. 확실성의 추구와 반론

1. 논리주의 수학
<고트로브 프레게>
2. 직관주의 수학
3. 형식주의 수학
4. 집합론 학파
<체르멜로-프란켈의 선택공리>
5. 유클리드 기하학의 재정립과 무정의 개념의 대두

VI. 이미 수학에 내재된 공성의 반증

1. 초월수 : 원주율(π)과 자연로그(ℯ)
2. 오일러상수
<오경웅 ＆ 도올 김용옥 비판(I)>
3. 페르마의 마지막 정리
4. 조화급수와 켐프너 급수
5. 벤포드 법칙
6. 무작위의 기법
7. 확률인식 - 토마스 베이즈 Thomas Bayes; Bayestian view of probability
8. 드디어 제논의 패러독스를 파(破)하다
<제논의 패러독스에서 드러나는 상대성원리>
9. 극한에서 드러나는 공성
10. 방정식에서 드러나는 불능(不能)과 부정(不定)의 의미
11. 미분의 근본이념
12. 뉴턴과 라이프니츠
13. 미분, 극한에서 선택되는 철학적 태도
14. 수에 포함된 역동적인 연속의 의미

VII. 수학은 진리가 아니라 진리 발견의 도구다

1. 서구사상에서 드러나는 모순적 결과
2. 수학은 진리가 아니다
3. 수학자들 가운데 발견되는 인간의 주체성
4. 수학의 발전 도상에 드러나는 인간의식의 연대와 이성의 한계
5. 수학사에서 드러나는 이산(대수학)과 연속(해석학)의 대결
6. 수학사에서 드러나는 정적인(구조주의) 수학과 동적인 수학(운동, 변화)의 대결
7. 수학사에서 드러나는 근원실재론과 근원심성론의 대결
8. 공성과 자성을 통찰하기 시작한 수학자와 물리학자들

VIII. 공사상

1. 공(空)과 무(無)의 구별
2. 공은 무한이고 무한은 공이다(공즉시색 색즉시공)
3. 공사상은 강한 역설의 변증법을 함의하되 그 낙처는 우리의 자성이다
<도올 비판 (II)>
4. 중도의 역동성
5. 무상성은 역동성이다
6. 관찰자 없는 객관적 자연현상
<빛과 마음의 유비>
<깨진 유리 한 장의 비유>
7. 자성(自性), svabhāva(SQ)의 시대
8. 가치론적인 공함에 대하여

후기