10개 특강으로 끝내는 모든 수학의 원리

감사의 글
옮긴이의 글
이 책을 읽는 법
서문

첫 번째 강의. 진리, 그리고 아름다움
창조 | 진리 | 논리 | 복합명제 | 세 가지 작은 단어들 | 모델

두 번째 강의. 하나, 둘, 셋,…, 무한대
셈 | 무한집합 | 러셀의 패러독스 | 불 대수 | 논리와 집합

세 번째 강의. 셈을 넘어서
덧셈, 곱셈, 순서 | 정수 | 유리수 | 조작

네 번째 강의. 수론
소수 | 에라토스테네스의 체 | 수학적 귀납법 | 순서 정렬원리 | 나눗셈 알고리즘
최대공약수 | 동치관계 | 군/되돌아가기/추측

다섯 번째 강의. 실수와 허수
측정 때문에 빚어진 살인 | 실수 직선 | 실수의 연산 | 셀 수 없는 무한 그리고 | 복소수

여섯 번째 강의. 수 기계
데카르트의 꿈 | 그래프 | 점 사이의 거리 | 함수의 결합 | 역함수 | 초월수

일곱 번째 강의. 확률
유한 표본공간 | 기본 성질들 | 조건부 확률 | 세어보기 기술 | 기댓값 | 통계 무한 표본공간

여덟 번째 강의. 미적분
적분 | 미분 | 미적분학의 기본정리 | 극한 | 아름다움 그리고 힘

아홉 번째 강의. 패턴과 패러독스
궤변 | 패러독스

열 번째 강의. 요약
유용성에 대한 심미적 원칙 | 거울 이미지

수학은 맥베스에게 환영으로 비친 공중의 단검과 같이 우리 마음속에 존재한다. 수, 방정식들 그리고 행렬과 같은 수학적 대상들은 모두 추상적인 상상의 산물이다. 그것들은 우리의 실제 삶에는 존재하지 않는다. 물론, 수학적 기호라는 것이 실제 생활에 존재하는 사물인 종이 위에 쓰여 있거나 책에 인쇄되어 있기도 하다. 하지만 그 기호가 가리키는 대상 자체는 마음 속 깊은 어디인가에서 나왔다는 점을 잊지 말아야 한다. 수학은 단순히 잉크로 만들어진 것이 아니다.

면도를 깨끗하게 하는 사람들의 마을에 한 이발사가 살고 있다. 굳이 정의를 내리자면, 이발사는 스스로 면도를 하지 않는 사람들만 면도를 해준다. 이발사 자신은 어떻게 면도를 할 수 있을까? 만일 그가 스스로 면도를 한다면 그는 이발사에 의해 면도를 하는 셈이다. 그렇다면 그는 스스로 면도를 하지 않는 사람이 된다. 반면에 그가 스스로 면도를 하지 않는다고 하면 이발사에 의해 면도를 해야만 한다.

만일 당신이 유리수 n/m을 분수로 생각하고 있다면, 어쩌면 학교에서 들었던 “a/b는 정수 a를 정수 b로 나눈 것”이라는 표현을 떠올릴 수도 있을 것이다. 유리수의 정의에 있어 나눗셈 개념이 전혀 언급된 적이 없었으므로 이러한 표현이 불필요하다는 것을 제외하고는 잘못된 것은 전혀 없다. 그러나 우리는 x/y 라는 (수의 집합이 아닌) 형식의 기호들의 집합을 확장하면서 동시에 나눗셈 개념을 도입할 것이다.