미적분의 쓸모

들어가며
세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어, 미적분·005

I. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라: 가속도·011
세상에 움직이지 않는 것은 없다·015│세기의 발견과 가속도의 관계·017│물리학자인 뉴턴은 왜 미분을 고안했을까?·020│도로의 무법자를 잡는 미분·029│뛰는 캥거루 운전자, 그 위를 나는 미분·034│통과 지점은 중요하지 않다, 새로운 가속도 측정법·036│가속도의 법칙으로 떠나는 우주여행·040│스페이스X의 성공 비결, 회전운동과 미분·045
미적분이 만든 미래 │새로운 배송시대의 도래, 드론을 제어하라·050

II. 자연의 곡선을 구현하기 위한 인간의 언어: 기울기·059
극한과 무한의 역사·063│한계가 없는 수를 설명하는 미적분학·068│기울기로 이해하는 미분·071│도시를 연결하는 곡선 기하학·075│세상을 구성하는 나선의 종류들·080│자연의 아름다움을 담아내는 곡선 디자인·084
미적분이 만든 미래 │자연의 곡선을 그리는 컴퓨터 회화, CG·088

III. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법: 최적화·093
현실적인 타협점을 구하라·096│최적화를 어렵게 만드는 조건, 다변수·102│아마존과 인공지능의 연결고리, 최적화·105│복잡한 현실을 반영한 모델, 인공신경망·110│인공지능을 학습시키는 최적화 방법, 경사하강법·115│우리는 언제 만능 AI 비서를 만나게 될까?·123
미적분이 만든 미래 │인공지능이 발달할 수 있었던 또 다른 요인들·127

IV. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다: 기하학·131
원의 면적을 구하는 고대 수학·134│특명, 코로나 확진자 발생률을 파악하라·141│적분을 활용한 오늘날의 측정 방법들·147│적분이 이끈 의학 발전, CT 촬영·155
미적분이 만든 미래 │대용량 데이터 압축이 가능해진 비결, 푸리에 변환·162

V. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법: 나비에-스토크스 유동 방정식·171
유체 변화를 가장 잘 표현한 방정식·175│해가 없는 방정식을 활용하라! 전산유체역학 ·179│유동 방정식을 활용한 수학자, 오스카상을 받다·183
쓸모 있는 미적분 개념 │자연현상을 설명하는 미분방정식들·188

Ⅵ. 우리는 어떤 미래를 향해 나아가고 있는가?: 미적분의 예측하는 힘·197
한계효용, 가장 만족스러운 결과가 나오는 순간·199│재난지원금을 어느 계층에 지급해야 효용을 극대화할 수 있을까?· 201│미래는 어떻게 움직이는가·203│미적분으로 이해하는 경제의 흐름·210 │내 미래자산은 언제 2배가 될까? 근사법·219│단타 vs 장투, 미적분이 알려주는 안전한 투자 전략·224
쓸모 있는 미적분 개념 │미적분으로 읽는 ‘인생 곡선’·236

뉴턴의 꿈은 천체의 움직임, 즉 우주라는 공간에서 시간에 따른 천체의 위치 변화로 만유인력을 이해하는 것이었다. 뉴턴에게 남은 숙제는 이 가속도를 이해하고 수학적으로 기술하는 것이었다. 그리고 이 가속도를 수학적으로 정확히 표현하기 위해서 만든 개념이 바로 미분이다. 미분은 근대에 탄생한 움직임에 관한 수학이다. (중략) 분명한 것은 뉴턴이 자신의 꿈을 이루기 위해 고안한 이 수학 개념이 과학혁명을 이루는 데 일조하고, 300년이 지나 최첨단기술을 만나 다양한 방면에 쓰이고 있다는 사실이다. _Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라

직선과 달리 곡선은 부드럽다고 생각한다. 하지만 곡선이라 해서 모두 부드러운 것은 아니다. 곡선이 어색한 부분 없이 완벽하게 부드럽고 자연스러우려면 곡선상에서 1차, 2차 도함수는 물론 그 이상의 고차도함수가 연속적이어야 한다. (중략) 곡선 철로를 놓을 때는 직선 철로와 부드럽게 이어질 수 있도록 하는 것이 중요하다. 연결 철로가 서로 어긋나지 않아야 함은 물론이고, 접선의 기울기가 일치하는 방향으로 이어져야 한다. 즉 함숫값이 연속이고 기울기가 서로 같도록 만들어야 한다. _Ⅱ. 자연의 곡선을 구현하기 위한 인간의 언어