벡터

들어가며

1장 대수학의 해방
2장 미적분의 도래
3장 벡터로 가는 길
4장 공간(과 저장)의 이해
5장 뜻밖의 인물 등장과 매우 느린 수용
6장 테이트와 맥스웰: 전자기 벡터장의 탄생
7장 사원수에서 벡터로의 느린 여정
8장 마침내 벡터 분석, 그리고 사원수 “전쟁”
9장 공간에서 시공간으로: 벡터의 새로운 변주
10장 공간과 불변 거리: 텐서로 가는 길
11장 텐서의 발명: 왜 텐서가 중요한가
12장 모든 것이 한데 모이다: 텐서와 일반상대성이론
13장 그다음에 일어난 일

나가며
연대표
감사의 글
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세계에 대한 우리의 이해에는 이따금 놀라운 돌파구가 나타난다. 우리가 태양계의 중심에 있다는 믿음이 뒤집힌 일이 그랬고, 상대론 혁명은 우리가 시공간을 보는 방식은 물론 우주에서 우리의 위치를 보는 방식까지 뒤바꿨다. 전자기 전파의 극적인 발견은 무선 기술을 낳아 우리의 일상에 경이로운 변화를 가져왔고, 양자 혁명은 마법 같은 마이크로 기술을 가져다주는 동시에 우리의 현실 개념을 산산조각 냈다. 그리고 디지털 혁명은 우리의 커뮤니케이션 방식을 변화시켰으며, 바로 이 순간에도 점점 더 정교한 인공지능을 만들어내고 있다. 이 돌파구들을 통과하면서 새로운 기술 시대, 문화 시대가 열렸고, 그에 관해 많은 글이 쓰였다. 하지만 이러한 과학기술의 패러다임 전환이 그에 못지않게 극적인 수학 혁명과 함께 이루어졌다는 사실은 덜 알려졌다. 이 책은 바로 그 알려지지 않은 혁명, 그 뒤의 빛나는 아이디어, 그리고 혁명을 가능하게 한 사람들에 관한 이야기다.
그것은 본질적으로 인류가 우리를 둘러싸고 소용돌이치는 온갖 데이터를 기록하고 이해하는 방식이 어떻게 진화해왔는지에 관한 이야기다. 그중에서도 우리에게 “벡터vector”와 “텐서tensor”라는 놀라운 개념을 선사한 수학의 극적인 전환을 들여다보려고 한다. 현대 과학과 기술 중 많은 부분이 이들 개념을 근간으로 하고 있기 때문이다. 우리는 그 개념들을 언어로 사용하여 우주의 수수께끼를 하나하나 밝혀내고 있다.
두 개념은 우주의 차원들을 새롭고 더 명료한 방식으로 다루게 해준다는 점에서 강력한 힘을 발휘하며, 우리는 이를 통해 자연법칙을 발견하고 신기술에 응용할 수 있다. 로봇 팔을 회전시키거나 교량과 풍력 터빈을 설계할 때처럼 공간상의 위치를 활용하려면 이 새로운 차원을 다뤄야 한다. 모터나 발전기에서 전자기력의 효과를 파악하거나 전자기파나 파도, 중력파의 경로를 예측할 때, 위성 궤적을 도식화하거나 GPS 같은 유도 시스템을 보정할 때 등 공간 또는 시공간에서 뭔가를 분석해야 하는 일이라면 다 마찬가지다.
_ <프롤로그>에서

해마다 10월 16일이면 더블린의 수학 애호가들은 던싱크 천문대에 모여 로열 운하까지 들판을 가로질러 걸어 내려간다. 운하를 건너는 다리는 여럿 있지만 이들이 향하는 곳은 오직 하나, 브룸 브리지다. 그들은 아일랜드에서 가장 위대한 수학자 윌리엄 로언 해밀턴을 기리는 해밀턴의 날을 맞아, 수학의 역사에서 가장 유명한 산책 중 하나를 재연한다. 1843년 10월 16일, 아일랜드 왕실 천문학자였던 해밀턴은 왕립 아일랜드 아카데미 회의를 주재하러 가고 있었다. (중략) 그는 몇 년 동안 영 풀리지 않을 것 같은 이 질문에 골몰해 있었다. 당시에 해밀턴은 그저 3차원 회전이라는 수학적인 문제를 푸는 데 관심이 있었을 뿐이지만, 그가 고민했던 문제는 오늘날의 로봇, 사실적인 컴퓨터 이미지, 우주선과 같은 첨단 기술과 관련된다. 이 문제를 풀기 위해 그가 창안한 수학 덕분에 오늘날의 다양한 응용이 가능해진 것이다. 시작은 브룸 브리지를 걷던 그에게 문득 떠오른 한 가지 생각이었다.3 차원 회전은 오직 4차원 수학으로만 설명할 수 있다!
_ <1장, 대수학의 해방>에서

헤비사이드는 벡터를 연구하는 사람이 자기 말고도 또 있다는 사실에 기뻐했지만, 테이트는 노발대발했다! 그리고 1890년대에 이르러, <네이처> 등 주요 과학 잡지 지면에서 매우 신사적이지 않은 논쟁이 벌어졌다. 쟁점은 다음과 같았다. 전체 벡터 체계를 과연 사용해야 하는가? 톰슨이나 아서 케일리 같은 이들은 그렇지 않다고, 성분으로 충분하다고 주장했다. 하지만 만약 벡터 체계를 꼭 사용해야 한다면 해밀턴의 사원수를 사용해야 하는가, 아니면 그라스만의 대수를 사용해야 하는가? 아니면 테이트가 해밀턴의 아류에 불과하다고 본 기브스나 헤비사이드의 실용적인 벡터 해석을 사용해야 하는가?
기브스는 특히 테이트의 노여움을 샀다. 테이트는 기브스의 《벡터 해석의 기본 원리》를 “해밀턴의 표기법과 그라스만의 표기법을 조합 한 일종의 자웅동체 괴물”이라고 일컬었다. 기브스는 1891년 <네이처> 기고문을 통해 매우 정중하게 테이트의 비방에 반박했다. (중략) 자신이 사랑하는 사원수에 어떤 제한도 인정하지 않겠다는 결심을 한 테이트는 벡터를 3차원 이상으로 확장하는 것의 중요성을 강조한 기브스의 주장에 반박하며 이렇게 물었다. “물리학을 공부하는 학생들이 3차원을 넘어서는 공간과 무슨 상관이 있겠는가?” 테이트의 질문은 우리의 사후적 관점이 역사를 훨씬 더 흥미롭게 만들 수 있다는 것을 보여준다.
_ <8장, 마침내 벡터 해석, 그리고 사원수 “전쟁”>에서