미적분 직관하기 1

이 책을 먼저 읽은 분들의 찬사
들어가며: 이해하는 수학에서 발견하는 수학으로

1부 끝없는 세계를 직관하다: 극한
1 무한을 품기 시작하다
2 무한이 만든 세계관
3 무한을 정의하다
4 무한 vs 무한
5 믿을 수 없는 것을 믿게 하라
6 극한의 탄생
7 수직선 완성시키기
8 이어짐과 끊어짐 사이에서
9 우주로 뻗어나가는 무한한 상상력
10 극한 여행의 시작
11 직관을 타고 거시세계로
12 직관을 타고 미시세계로
13 무한 싸움에 상수항 등 터진다
14 극한 상황 체험하기
15 극한의 현혹을 뛰어넘어

2부 변화를 직관하다: 미분
1 새로운 시대와 미적분
2 운동의 비밀을 밝히다
3 미분법이 싹트다
4 미분의 선구자들
5 뉴턴과 라이프니츠의 미분법
6 현대의 미분
7 접선 직관하기
8 수학 현미경으로 보는 세상
9 직관을 타고 접선의 세계로
10 지구를 향한 여정
11 미분가능성 직관하기
12 미분의 역할
13 곱의 미분법 직관하기
14 미분의 활용
15 빛의 세계에 눈을 뜨다
16 빛의 수학
17 미분이 펼친 직관의 세계
18 변화라는 세계
19 우주의 수학
20 끝은 또 다른 시작

부록
더 깊이 들어가기
참고 문헌
도판 출처

학생들은 수학이 원래부터 완벽하게 태어나 영원히 지고지순하게 존재하는 학문인 줄 안다. 나 역시 고등학교 시절에는 뉴턴과 라이프니츠가 지금 교과서에 나오는 그대로 미적분을 만들었다고 생각했다. 교과서 속 수학 개념들은 역사와 무관하게 학생들의 학습에 가장 적합한 방
식으로 재구성되어 있기 때문에 생기는 당연한 오해였다. 전문가들이 교육 과정을 이렇게 구성한 이유는 수학을 가장 정확하고 효율적으로 가르치는 길이라고 판단했기 때문이리라. - 들어가며 〈이해하는 수학에서 발견하는 수학으로〉

분수 b/a가 무한이 되도록 만들기 위해서는 분자 b를 한없이 크게 해도 되고 분모 a를 0에 한없이 가깝게 해도 된다. 그런데 인류가 무한을 처음으로 삶에 이용하게 된 것은 분자를 한없이 키우는 것이 아니라 분모를 한없이 깎는 것을 통해서였다. 무한을 향한 인류의 끝없는 도전은 석기시대부터 시작됐다고 할 수 있는데, 뾰족한 칼, 도끼, 화살촉 등에서 무한의 개념을 찾아볼 수 있기 때문이다. - 1부 1장 〈무한을 품기 시작하다〉

천재적인 수학자들이라고 해서 처음부터 한 치의 의심도 없이 0.999…=1임을 인정할 수 있었던 것은 아니었다. 0.999…는 심지어 뉴턴을 괴롭히기도 했을 만큼 도깨비 같은 존재였다. 수학자들은 0.999…=1임에 대한 한 점의 의심마저 없애기 위해 이 도깨비가 더 이상 제멋대로 날뛰지 못하도록 0.999…를 명확하게 ‘정의’해버렸다. 그리고 그 과정에서 활용한 도구가 바로 ‘무한대’와 ‘극한(lim)’이다. - 1부 6장 〈극한의 탄생〉