결정을 유리하게 만드는 산수의 기술

들어가며 - ‘초등 산수’가 인생의 강력한 무기가 된다 006

Introduction 수 감각의 핵심은 초등 산수에 있다!
1. 숫자 감각을 깨우다 021
잘못된 수를 한번에 알아채다
짝수와 홀수의 개수를 센다
계산 순서를 바꾼다
산수라는 무기로 문제의 핵심을 간파할 수 있다
숫자의 공통점을 발견한다
2. 임팩트 있는 전달이 가능하다 026
숫자만으로는 전달되지 않는 것도 있다
‘전체 수’도 알아본다
‘비율’을 표현하는 방식에도 여러가지가 있다
3. 알기 쉽게 설명할 수 있다 030
까다로운 내용도 숫자를 활용해 심플하게 나타낸다

Part1 숫자에 강해지는 산수의 기술

Chapter1 계산 속도가 월등히 빨라진다! 덧셈과 곱셈의 핵심
1. 곱셈은 덧셈을 간소화한 것 034
덧셈과 곱셈 중 어느 것을 사용할까?
곱셈으로 작업을 간소화할 수 있다
2. 계산을 빠르게 하기 위한 머리 사용법 038
‘같은 것’을 찾아서 묶는다
도형을 보듯이 숫자를 본다
도형의 대칭을 활용해 같은 것을 발견한다
3. 숫자를 나열해 대칭을 발견한다 042
1~100을 두 개로 나누어 접어 보면?
식을 대칭으로 표현한다
숫자의 대칭을 찾아본다
딱 떨어지는 수가 아니어도 응용이 가능하다

Chapter2 계산 실수가 없어진다! 덧셈과 뺄셈의 핵심
1. 우선 간소화된 것을 원래대로 되돌릴 것 049
계산 순서는 곱셈과 나눗셈 먼저, 덧셈과 뺄셈은 나중
곱셈과 나눗셈으로 간소화된 것을 원래대로 되돌린다
‘( )’도 간소화 규칙 중 하나
2. 수식은 모두 덧셈의 간소화 055
뺄셈도 덧셈의 한 종류
중학교 수학에서 처음으로 배우는 ‘항’
모두 덧셈으로 바꿔 보면 알기 쉽다

Chapter3 숫자를 보는 눈이 달라진다! 나눗셈의 핵심
1. 나눗셈을 ‘몇 개로 나눈다’라고 생각하지 않는다 059
농도 200% 칼피스가 가능할까?
‘1을 기준으로 얼마인가’를 생각한다
2. 나눗셈은 아이디어에 따라 얼마든지 간단해진다 063
나눗셈과 곱셈은 순서를 바꿔도 OK
나누어지는 수와 나누는 수에 여러 가지 같은 수를 곱해 본다
소수점이 붙어도 같다

Chapter4 수에 대한 이해가 깊어진다! 약수의 핵심
1. 약수로 숫자의 정체를 밝혀낸다 069
약수를 사용하면 나눗셈이 쉬워진다
나눗셈은 ‘공통항을 찾아서 제거’한다
2. 약수를 찾는 비결 073
약수를 어떻게 찾을까
덧셈과 뺄셈을 사용해 약수를 찾는다
어려워 보이는 숫자도 약수를 쉽게 찾을 수 있다

Chapter5 구분해서 사용하면 세상이 달라진다! 소수와 분수의 핵심
1. 분수만의 장점 079
분수와 소수라는 두 종류의 숫자
소수로 표현하기 번거로운 수는 분수로 간단히 표현할 수 있다
분수는 나눗셈의 ‘계산 도중’의 수
2. 소수만의 장점 084
소수를 사용하면 덧셈과 뺄셈이 쉬워진다
소수는 분수보다 더 이해하기 쉽다
상황에 따라 구분해서 사용한다

Chapter6 복잡한 문제를 단순하게 만든다! 짝수와 홀수의 핵심
1. 홀수의 ‘어떤 특징’을 이용해 어려운 문제를 푼다 089
짝수와 홀수의 특징을 이해한다
어려워 보이는 문제도 쉽게 풀 수 있다
2. 홀수와 짝수의 놀라운 성질 094
홀수의 합을 ‘정사각형’으로 생각한다
짝수의 합을 ‘직사각형’으로 생각한다

Part2 결정을 유리하게 만드는 산수의 사고법(실전편)

Chapter7 식 세우기 사고로 머릿속을 정리할 수 있다
1. 모든 문제를 정리해 주는 식 세우기 사고란? 100
산수는 일상에 많은 도움이 된다
일단 식을 만들고 생각한다
식 세우기 사고로 어려운 지리 문제를 풀다
자급률이 100%를 넘는 이유
2. 식 세우기 사고로 복잡한 현상을 정리한다 105
성과를 올리는 영업 목표 설정 방법
큰 숫자는 분해해서 하나의 수식으로 만든다
수식으로 만들면 무엇이 보일까?
3. 진짜 원인을 찾기 위한 정리법 110
어떻게 하면 음식을 더 빨리 제공할 수 있을까?
한번 더 비슷한 것끼리 묶는다
경제를 수식으로 표현하려는 사고가 경제학의 시작

Chapter8 전체를 보는 사고로 보이지 않는 과제를 특정할 수 있다
1. 일부분만 보고 판단하면 실수한다 116
어느 학원이 더 우수한가?
전체를 보는 사고는 분모가 중요하다
2. 전체를 보는 사고로 모든 문제를 해결한다 120
‘비율’과 ‘수’를 혼동하지 않는다
확률의 덧셈
전체에서 ‘일부’를 뺀다
왜 그렇게 되었는가?

Chapter9 역산 사고로 발상의 전환을 촉진한다
1. 역산 사고로 보이지 않는 것에 주목한다 130
먼저 ‘결과’를 잘 관찰한다
계획을 세울 때는 목표가 중요하다
2. 모든 현상을 역산 사고로 풀이한다 135
전체를 보는 사고와 역산 사고는 수식이 없어도 활용할 수 있다
전체를 봤을 때 가장 먼저 보이는 것은?
위화감의 정체는 무엇일까?

Chapter10 깔끔한 사고로 두뇌 메모리를 절약할 수 있다
1. 숫자에 ‘섞인 것’을 제거한다 143
사이제리야는 왜 1엔만 인상했을까? ‘
깔끔하다’는 것은 ‘불필요하게 섞인 것이 없다’는 뜻
‘깔끔함’에도 여러 의미가 있다
2. 깔끔한 사고로 설명과 이해가 빨라진다 150
‘깔끔하게 한다’ = ‘단순하게 한다’
‘단위’를 맞추면 깔끔해져서 전달하기 쉽다
깔끔한 사고로 문제점을 간파한다
3. 깔끔한 사고의 실용적 사용법 155
대충 계산하는 편이 전달하기 쉬울 때도 있다
식 세우기 사고는 ‘유연함’이 있어야 성립한다
소수 항목은 ‘기타’로 묶는다

Chapter11 정의하는 사고로 생각하는 속도를 가속할 수 있다
1. 왜 ‘정의’가 중요한가? 160
‘이용자 수’의 본래 의미는 무엇인가?
2. 정의를 내리면 계산이 편해진다 163
기호로 정의하는 이유
정의하는 사고와 깔끔한 사고를 조합하기
3. 변수와 상수를 잘 다루면 머릿속이 깔끔히 정리된다 167
변수와 상수란 무엇인가?
미래를 바꾸는 계산

Chapter12 시행착오적 사고로 수 감각과 사고력을 높인다
1. 무엇보다도 시행착오를 겪는 것이 중요하다 173
손부터 움직이는 학생은 수 감각이 빨리 향상된다
손을 움직여 보면 답이 보이는 난제
일단 시도해 보면 답에 가까워진다
2. 시행착오적 사고의 실용적인 사용법 178
작은 수부터 먼저 시도해 본다
[최종 문제] 어느 택시가 요금이 더 저렴할까?
깔끔한 답이 나온다는 보장이 없으므로 ‘끈기’도 중요하다

나오며 - ‘세상이 다르게 보이는 공부’는 산수밖에 없다 186

곱셈으로 작업을 간소화할 수 있다
산수건 수학이건 ‘이 방법은 귀찮으니 새로운 식과 개념을 도입하자’라는 생각에서 출발해, 사고나 계산 속도를 향상시키도록 변화해 온 역사가 있습니다. 예를 들어 ‘3.141592…’은 너무 기니까 ‘π’라는 기호를 사용해 표시한다거나, 답을 모르겠으면 ‘x’ 또는 ‘y’ 또는 ‘n’이라는 문자를 써서 계산하는 것 등이 있지요. 산수에서도 수학에서도 보다 간단하고 보다 이해하기 쉬운 방법을 도입하는 것이 관례입니다. 애초에 ‘사과가 하나 존재한다’라는 개념을 ‘1’이라는 수로 바꾸어 계산하는 것이 최초의 숫자 개념이었습니다. 그렇게 생각하면 산수를 포함한 수학이라는 학문은 ‘간소화’가 본질이라고 해도 과언이 아닙니다.

수식은 모두 덧셈의 간소화
계산이란 곱셈이나 나눗셈, 혹은 괄호를 사용해 같은 것을 묶어서 ‘덧셈과 뺄셈을 어떻게 간단하게 풀어낼 것인가’라는 게임입니다. 본질은 ‘덧셈과 뺄셈’입니다. 그렇기 때문에 여러 계산을 거친 후에 가장 마지막에 하는 것이 ‘덧셈과 뺄셈’입니다. 이것을 이해할 수 있도록 일부러 곱셈 후에 덧셈과 뺄셈 항목을 배치했습니다. 그리고 계속 고집스럽게 ‘덧셈과 뺄셈’이라고 했는데, 엄밀히 말해 ‘뺄셈’ 역시 ‘덧셈’입니다. ‘뭐? 뺄셈이 덧셈이라니, 이건 또 무슨 말이지?’라고 생각할 수도 있지만, 이것은 실제로 계산에 관한 유명한 사고방식입니다.
…
‘곤란한 배려’, ‘마이너스 선물’이라는 표현처럼 +와 -는 표리일체라고 할 수 있습니다. 이러한 사고방식에 따르면 마이너스인지 플러스인지는 몰라도 계산은 모두 ‘덧셈’이 본질입니다. ‘뺄셈, 곱셈, 나눗셈’은 모두 ‘덧셈’의 응용일 뿐입니다. 다시 말해 모든 계산은 ‘덧셈’입니다.