한번 읽고 평생 써먹는 수학 상식 이야기

들어가며
1부. 우리가 미처 몰랐던 수의 비밀 : 수 개념의 발달
1. 천재 에디슨도 틀렸다 : 1+1=2인 이유
2. 슈퍼컴퓨터도 못하는 계산이 있다 : 0으로 나눌 수 없는 이유
3. 반대의 반대는 찬성이라고? : 음수 곱하기 음수가 양수인 이유
4. 가장 큰 소수(素數)를 찾으면 유명해진다 : 소수가 무한개인 이유
5. 자연수 개수와 짝수 개수가 같다?! : 무한 이야기① 자연수 vs 짝수
6. 방이 무한개인 힐베르트의 호텔 : 무한 이야기② 자연수 vs 정수
7. 같은 듯, 다른 듯 헷갈리는 너 : 0.9999…는 왜 1인가?
8. 나눗셈만으로는 표현하기에는 무리인 수 : 는 무리수
9. 사칙연산을 초월한 수 : π, e는 초월수
10. 기하학과 대수학은 복소수로 완성한다 : 복소수와 오일러의 공식

2부. 의외의 곳에서 활약하는 수학 원리 : 일상 속 수학
1. 수학으로 범죄를 예측한다! : 수사 드라마 속 수학
2. 바코드 번호에 숨겨진 비밀 : 컴퓨터의 오류 정정
3. 옛날 피아노는 건반이 달랐다 : 음악과 수학
4. 대책이 없으면 항상 지는 게임 : 피보나치 돌 줍기 게임
5. 『다빈치 코드』에 숨은 수학 : 피보나치 수열과 황금비
6. 붉은 악마는 붉은 유니폼을 입고 싶다 : 4색 정리 ① 유니폼 색깔 문제
7. 도넛 위의 지도를 칠하려면? : 4색 정리 ② 오일러 표수
8. 색연필 4자루로 세계지도를 칠할 수 있다 : 4색 정리 ③ 최초의 컴퓨터 증명
9. 물에 빠진 사람을 구하려면 어느 지점에서 물로 뛰어들어야 할까? : 미분의 응용
10. 가려진 물체를 밖에서 보게 해 주는 적분 : CT 사진의 원리

3부. 수학자도 깜짝 놀라는 함수의 세계 : 함수들의 탄생
1. 피타고라스가 원을 만나면? : 라디안과 삼각함수
2. 나는 수학한다. 고로 존재한다 : 작도 이야기 ① 데카르트와 작도
3. 못 말리는 고집불통, 삼등분가 : 작도 이야기 ② 3대 작도 불능 문제
4. 자와 컴퍼스만으로 3° 그리기 : 작도 이야기 ③ 정다각형의 작도
5. 인류의 오랜 꿈 : 3차 방정식의 해법
6. 계산하기 귀찮아서 태어났다 : 로그의 발견
7. 엄청난 노동으로 완성한 기막힌 표 : 자연로그
8. 곡선과 가장 가까운 직선을 찾아라 : 미분 이야기
9. 쭈글쭈글한 함수의 면적이 궁금하다면 : 미적분의 기본 정리
10. 수학자는 하트 곡선으로 고백한다 : 대수학의 기본 정리

발명왕 에디슨이 “찰흙 한 덩이에 찰흙 한 덩이를 합치면 여전히 한 덩이이므로 1+1=1일 수도 있지 않을까요?”라고 질문해서 선생님의 말문이 막혔다는 이야기가 있다. 또는 물 한 방울에 물 한 방울을 합치면 여전히 물이 한 방울이니까 1+1이 2가 아닐 수도 있다고 생각할 수 있다. 많은 사람들이 이 이야기에 공감한다. 과연 에디슨의 말은 옳은 것일까? 곰곰이 생각해 보자.

찰흙 두 덩이를 합치면 한 덩이다?
에디슨이 오른손에 든 한 덩이와 왼손에 든 한 덩이는 같은 한 덩이일까? 무게나 부피를 재 보거나 모양을 보면 틀림없이 누구나 다르다는 것을 알 수 있다. 양쪽이 다른 데도 같은 ‘한 덩이’라는 말을 쓴 것을 보면, 에디슨에게는 ‘한 덩이’란 ‘한 손으로 쥘 수 있는 양’ 정도의 뜻이었을 것이다. 그럼 양손에 든 한 덩이씩을 합친 것은 한 손으로 쥘 수 있는 양일까? 아닐 것이다. 즉, 에디슨의 주장 1+1=1에서 등호 = 뒤에 나오는 1은 등호 앞에 나오는 두 개의 1과 뜻이 달라진 것이다. 따라서 에디슨의 주장은 옳지 않다.
이처럼 에디슨의 ‘한 덩이’는 사람마다 기준이 달라지는 애매모호한 단위라는 사실을 지적할 수 있다. 애매모호하지 않고 기준이 정해진 단위인 그램(g) 같은 것을 썼다면 이런 잘못을 범하지는 않았을 것이다. 물론 에디슨도 어렸을 때의 순진한 주장을 어른이 되어서도 고집하지는 않았을 것이다. 두 상자 분량의 전구를 큰 상자 하나에 넣은 뒤 한 상자 값에 팔았다는 얘기는 들어 본 적이 없으니 말이다.
- ‘천재 에디슨도 틀렸다 : 1+1=2인 이유’ 중에서

컴퓨터는 왜 0으로 나눌 수 없다고 하는 것일까? 먼저 근본적으로 컴퓨터는 나눗셈을 못한다는 것부터 말해야겠다. 계산 능력이 탁월한 컴퓨터가 나눗셈을 못하다니 무슨 뚱딴지 같은 소리냐고 오해하지 말길 바란다. 컴퓨터가 나눗셈을 못한다는 말은, 컴퓨터가 나눗셈을 할 때 ‘뺄셈’을 반복해서 처리한다는 뜻이다. 사실은 뺄셈도 덧셈과 보수 연산을 이용해서 처리한다. 어쨌든 0으로 나누려면 0을 빼는 일을 반복해야 하는데, 0을 아무리 빼도 값이 변하지 않는다. 그래서 뺄셈만 반복하며 무한 루프에 빠져 버릴 것이다. 그냥 뒀다가는 0만 빼다가 세월 다 보낼 테니, 0으로 나누는 것을 금지할 수밖에 없는 것이다.
컴퓨터에서 0으로 나누기 오류를 잘못 처리했다가 문제가 생긴 유명한 사례가 있다. 1996년부터 스마트 전함을 테스트하기 위해 미국은 군함 USS 요크타운 호에 펜티엄 프로에 기반한 윈도우 NT를 장착하여 운영비를 절감하려고 했다. 어떤 대원이 데이터베이스 자료 입력 공간에 0을 입력하였고 컴퓨터는 ‘0으로 나누기’를 시도하였다. 결국 네트워크상의 모든 기계들이 정지하여 추진력을 상실하는 사고가 발생했고, 비싼 돈을 들여 견인하는 수모를 겪어야만 했다. 0으로 나누려는 시도를 제대로 처리했더라면 없었을 일이었다.
-‘슈퍼컴퓨터도 못하는 계산이 있다 : 0으로 나눌 수 없는 이유’ 중에서

2016년 초 방영된 범죄 스릴러 드라마 <시그널>에서 ‘지오프로스(Geopros)’라는 소프트웨어가 잠깐 언급된 적이 있다. 이는 2011년 캘리포니아 지역 경찰이 실제로 사용했던 소프트웨어인 ‘프레드폴(Predpol)’을 구입하여, 한국의 현실에 맞게 변형한 것이라고 한다. 프레드폴은 범죄를 ‘예측’한다고 하는 상업용 소프트웨어다. 톰 크루즈 주연의 영화로 유명한 <마이너리티 리포트>가 떠올랐다면 프레드폴이 나왔을 당시 미국인들의 반응과 비슷하다. 물론 영화에서는 미래를 볼 수 있는 예지자(precog)들이 범죄를 예측한다. 그러나 프레드폴은 수학에 기반한 소프트웨어가 예측한다는 점에서 엄청난 차이가 있다.
물론 이 소프트웨어는 구체적인 범인이나 범죄 장소를 예측하지는 못한다. 이 소프트웨어의 기본적인 목적은 어느 지역에서 범죄가 일어날 가능성이 높은지 수학적으로 예측하여, 그곳에 순찰 등을 강화하고 경찰력을 늘려 범죄를 예방하는 것이다. 실제로 산타크루즈 지역에 적용한 결과 눈에 띄게 범죄 감소 효과를 봤다고 하며 이후 우리나라를 비롯한 세계 각국에 판매됐다. 프레드폴은 지진에 대한 수학 모형을 변형한 모형에 해당 국가나 도시의 특색에 맞는 기계학습(machine learning)을 시켜 변수를 조절하는 소프트웨어로 출발했다. 프레드폴의 구체적인 작동원리는 당연히 공개하지 않고 있으며 비록 소프트웨어의 효용성이 과장되었다는 주장도 제기되지만, 수학 모형에 기반한 소프트웨어가 범죄 예방에 도움이 된다는 것만은 사실인 것 같다.
-‘수학으로 범죄를 예측한다! : 수사 드라마 속 수학’ 중에서