알기 쉬운 추상 대수학

1장 왜 추상 대수학인가?
2장 연산
3장 군의 정의
4장 군의 기본 성질
5장 부분군
6장 함수
7장 치환군
8장 유한집합의 치환
9장 동형사상
10장 원소의 위수
11장 순환군
12장 분할과 동치관계
13장 나머지류 세기
14장 준동형사상
15장 몫군
16장 준동형사상의 기본 정리
17장 환 : 정의와 기본 성질
18장 아이디얼과 준동형사상
19장 몫환
20장 정역
21장 정수
22장 소인수분해
23장 정수론 원론(선택사항)
24장 다항식환
25장 다항식의 인수분해
26장 다항식에 대입하기
27장 체의 확장
28장 벡터공간
29장 확대체의 차수
30장 자와 컴퍼스
31장 갈루아 이론 : 서론
32장 갈루아 이론 : 문제의 핵심
33장 거듭제곱근으로 방정식 풀기
부록A 집합론 다시 보기
부록B 정수 다시 보기
부록C 수학적 귀납법 다시 보기
선택된 연습문제에 대한 해답

더 고급 수준의 대수학을 보통은 ‘현대 대수학’ 또는 ‘추상 대수학’이라 부른다. 사실 이 두 가지 표현은 부분적으로 오해의 소지가 있다. 오늘날 대수학의 초창기에 위대한 발견 중 몇 가지는 (예를 들어 갈루아 이론) 미국의 남북전쟁 이전부터 알려져 있었으며, 오늘날 대수학의 광대한 목적은 이미 17세기에 라이프니츠가 명백히 진술한 바 있기 때문이다. 따라서 ‘현대’ 대수학은 그다지 현대적이지 않다! 그렇다면 어느 정도로 ‘추상적’일까? 사실 추상성이라는 것은 상대적이어서, 어떤 사람에게는 추상적인 것도 다른 사람에게는 일상적인 식량일 수 있다. 수학에서의 추상화 경향은 어떻게 보면 도덕률이나 음악적 취향의 변화와 다소 비슷하다. 한 세대에게는 충격이었던 것이 다음 세대에는 일상적인 것으로 바뀌는 일은 수학 역사 내내 있어 왔다.

그러므로 1824년 닐스 아벨(Niels Abel)이라는 젊은 노르웨이인 천재의 연구가 빛을 보면서 수학자들이 대단히 놀란 것은 당연했다. 아벨은 자신의 연구에서 차수가 5 이상인 대수방정식의 근을 찾는 (우리가 보통 생각하는 의미로) ‘공식은 존재하지 않는다’는 것을 보였다. 경천동지할 이 발견과 함께 고전적 대수학 시대는 끝이 났다. 이 시기 동안 대수학은 방정식을 푸는 과학으로 여겨졌지만, 이제는 이러한 탐구가 한계에 도달했음이 명백해졌기 때문이다. 이후 대수학은 새로운 방향으로 독립하였다.

1832년 5월 30일 겨우 20세였던 때 갈루아는 새벽에 권총 결투를 하게 된다. 어떤 다
툼이 있어 결투를 하였는지는 명백하지 않다. 누군가는 정치적 이유 때문이라고 말하고, 어떤 이들은 바람둥이 여성의 갈팡질팡하는 사랑을 두고 다툰 결투였다고 주장한다. 진실은 결코 알려지지 않을 수도 있겠지만, 파란만장하고 뛰어났고 이상적이었던 갈루아는 권총 결투로 상처를 입고 사망한다. 결투 전날 갈루아가 자신의 주요 수학적 결과를 적어 친구에게 맡겼다는 것이 수학을 위해서는 다행스러웠다. 이번에는 원고들이 분실되지는 않았지만, 그가 사망한 지 15년 후에야 출간되었다. 그전까지 수학계는 아직 받아들일 준비가 돼 있지 않았던 것이다!