지금 시작해도 수학이 된다

시작하는 말

서문
왜 수학을 공부하는지 진정한 의미를 알고 편안하게 배우자
즐기면서 이해가 깊어지는 4가지 ‘마음’
‘무기’의 확장을 느끼면서 중학 수학까지 단숨에 읽기

1장 수의 길
한 걸음 - ‘소수’와 ‘분수’의 특징과 구조를 안다
두 걸음 - 비율에 익숙해지면 물건을 살 때 조금도 망설이지 않는다
세 걸음 - ‘음수’로 자신 있게 뺄셈을 할 수 있다
네 걸음 - ‘마이너스 빼기’를 확실하게 할 수 있다
다섯 걸음 - 곱셈과 나눗셈에서도 음수를 쓴다
여섯 걸음 - 잴 수 있을 것 같은데 잴 수 없다? 제곱근의 의미를 알아둔다
일곱 걸음 - 수를 알고 이해하는 것이 수학의 모든 출발점이다

2장 방정식의 길
한 걸음 - 방정식이란 ‘모르는 수’를 맞히는 것
두 걸음 - 방정식을 세우는 것과 푸는 것은 다르다
세 걸음 - 일차방정식은 천칭이 된 마음으로 푼다
네 걸음 - 방정식이 꼭 하나만은 아니다, 연립일차방정식의 발견
다섯 걸음 - ‘모르는 수’가 하나면 좋겠다는 바람을 이루어주는 대입법
여섯 걸음 - 계수가 같으면 좋겠다는 바람을 이루어주는 가감법
일곱 걸음 - 강적 ‘이차방정식’을 공략하자
여덟 걸음 - 만능은 아니지만 강력한 인수분해를 시도해보자
아홉 걸음 - 일상에서도 쓸 수 있는 인수분해의 놀라운 기술
열 걸음 - 이차방정식의 완결, ‘근의 공식’을 내 것으로

3장 함수와 그래프의 길
한 걸음 - ‘함수’란 무엇인가? 그래프와의 관계를 알아보자
두 걸음 - 일차방정식은 직선, 식은 대부분 ‘y＝ax＋b’다
세 걸음 - 일차방정식을 그래프로 풀어보자
네 걸음 - 연립일차방정식도 그래프로 만들어서 풀어보자
다섯 걸음 - 강적 이차방정식도 그래프로 풀 수 있다

4장 도형의 길
한 걸음 - 삼각형의 ‘합동’과 ‘닮은꼴’의 뜻을 생각하기
두 걸음 - 삼각형이 합동이 되는 조건을 유도하기
세 걸음 - 삼각형의 닮은꼴 조건은 합동을 기반으로
네 걸음 - 도형의 성질을 알면 수치를 알 수 있다
다섯 걸음 - 정사각형의 넓이로 모든 도형의 넓이를 구할 수 있다
여섯 걸음 - 삼각형의 넓이 공식의 증명과 다각형으로의 응용
일곱 걸음 - 원 넓이의 ‘한없이 올바른 설명’
여덟 걸음 - 마무리로 ‘피타고라스의 정리’를 증명하기
아홉 걸음 - 닮은꼴이면 비율로 겉넓이와 넓이를 알 수 있다

5장 확률의 길
한 걸음 - 사람들은 어째서인지 ‘확률’을 오해하고 틀린다
두 걸음 - ‘경우의 수’라는 말에 민감해지자
세 걸음 - ‘수형도’, 고민된다면 일단 그려보자
네 걸음 - ‘그럴 경우는 몇 가지?’ 의외로 심도 깊은 ‘경우의 수’
다섯 걸음 - 확률로 꿈을 재보는 ‘기댓값’
여섯 걸음 - 사실은 꽤 어려운 ‘조건부확률’

6장 정수의 길
한 걸음 - 초등학교에서 배우는 나눗셈의 답의 종류는 2가지다
두 걸음 - 나머지가 없는 세계, 소인수분해, 공약수, 공배수
세 걸음 - 가장 오래된 알고리즘, ‘유클리드의 호제법’
네 걸음 - 프로그래밍에서 중요한 것 ① ‘정말 끝이 있나?’
다섯 걸음 - 프로그래밍에서 중요한 것 ② ‘계산은 적을수록 좋다’
여섯 걸음 - 정수의 답을 원하면 정수로 풀자

7장 논리와 증명의 길
한 걸음 - 일상과 비즈니스에도 다양한 수학의 논리가 있다
두 걸음 - ‘증명’은 옳다는 것을 설명하는 것
세 걸음 - ‘반례’에 민감하면 증명이 맞는지 이해하는 데 도움된다
네 걸음 - 틀린 증명을 꿰뚫어보자
다섯 걸음 - 빈틈없는 ‘조건 분기’로 모든 경우의 수를 증명한다
여섯 걸음 – 잘 다루면 매우 유용한 무기 ‘역, 이, 대우’
일곱 걸음 - ‘다른 세계’를 부정해서 증명한다, ‘귀류법’의 놀라움

맺음말

시속 48km로 달리는 차는 60km를 달리려면 몇 시간이 필요할까요?

이것은 ‘시간’을 구하는 문제입니다. 이때는 ‘빠를수록 시간이 덜 걸린다’는 것을 감각적으로 알아야 합니다. 60km를 시속 60km로 달리면 당연히 1시간 걸립니다. 2배의 속도인 시속 120km로 달리면 0.5시간 (30분)이 걸리겠죠. 이 관계를 알면 성가신 숫자가 나오더라도 망설일 필요 없이 ‘거리를 속도로 나누면 시간을 구할 수 있다’는 것을 깨닫게 됩니다. 이것이 바로 문제를 공식화하는 것입니다. 60 ÷ 48= ?
이런 식이 어떻게 나왔는지 모르겠다면, ‘시속 60km보다 느린 시속 48km로 달리고 있으니 1시간 이상은 걸리겠지?’라고 생각했다면 ‘일까 일까’를 고민할 필요 없이 자신 있게 ’이라는 답을 얻을 수 있을 겁니다.
제1장 수의 길

① 50x = 1000 ② 6x + 24 = 4x + 80

이것은 ‘두 걸음’에서 다룬 문제입니다. ①은 ‘50에 무엇을 곱하면 1000이 될까’를 나타낸 식입니다. 이 식의 양변을 50으로 나누면 ‘모르는 수 x’를 곧바로 알 수 있습니다. 그러므로 ‘x =1000÷50’이 되고 ‘x = 20’이라는 답이 나옵니다. x의 몇 배에 해당하는 50x의 ‘50’이라는 부분을 ‘계수’라고 합니다. 이를 50으로 나눠서 1로 만들어버린 것입니다. ‘50÷50 = 1’이니까요. 그러면 ‘x = ’ 형태가 됩니다.
①은 이렇게 풀면 되지만 ②에서는 식의 형태가 달라서 그대로 적용할 수 없습니다.
그렇다면 어떻게 해결하면 좋을까요? 저는 어머니에게 배운 ‘천칭의 마음’을 담아두고 있습니다. ②를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

제2장 방정식의 길

지금부터 설명할 아름다운 ‘피타고라스의 정리’ 또한 그렇습니다. 이 공식은 길이를 알아내는 데 효과적인 ‘무기’입니다. 하지만 증명하는 데에는 역시 도형의 성질이 도움이 됩니다. ‘서장’에서 다룬 대로 피타고라스의 정리는 직각삼각형 변의 길이들의 관계를 나타내는 식입니다.
저는 이 그림이 아름답다고 생각합니다. 그 이유는 중점연결정리나 원주각의 정리처럼 증명은 어렵지만, 직관적이기 때문입니다. 그러니까 이들 공식은 왠지 맞아 보입니다. 하지만 피타고라스의 정리는 ‘이게 어떻게 성립하지?’라고 먼저 놀라움을 느낍니다. 저만 아름답다고 생각할 수도 있지만요.
수학의 역사에서 이 정리가 어떻게 생겨났는지에 대한 설이 많습니다. 하지만 ‘32 + 42 = 52’와 같은 관계가 성립하는 수가 있고, 이 관계가 성립하는 수라면 직각삼각형을 만들 수 있다는 사실을 공공연히 알고 있었던 것이 아니냐는 설이 있습니다.
제4장 도형의 길