수학 괴물을 죽이는 법

1장 세상의 모든 방정식을 푸는 법
2장 유명한 수학자가 되는 법
3장 원과 같은 넓이의 사각형을 그리는 법
4장 최고의 수학상을 타는 법
5장 수학의 괴물을 죽이는 법
6장 스도쿠를 잘하는 법
7장 카오스를 이해하는 법
8장 소용돌이에서 살아남는 법
9장 주식시장에서 큰돈을 버는 법
10장 총알보다 빨리 달리는 법
11장 다빈치 코드를 푸는 법
12장 수학의 위대한 업적을 감상하는 법
13장 슈퍼컴퓨터처럼 수를 세는 법
14장 하루에 100개의 도시를 방문하는 법
15장 완벽한 디너파티를 조직하는 법
16장 온 세상을 네 가지 색으로 칠하는 법
17장 살아 있는 동시에 죽는 법
18장 불가능한 삼각형을 그리는 법
19장 DNA의 매듭을 푸는 법
20장 우주의 모든 구멍을 발견하는 법
21장 5차원을 쉽게 이해하는 법
22장 완전한 패턴을 디자인하는 법
23장 완전한 벌집을 만드는 법
24장 무한까지 세는 법
25장 뇌를 만드는 법
26장 인터넷을 타도하는 법
27장 답할 수 없는 질문을 던지는 법
28장 사기를 간파하는 법
29장 해독 불가능한 암호를 만드는 법
30장 감옥을 피하는 법
31장 배심원의 오판을 유도하는 법
32장 시간의 흐름을 늦추는 법
33장 룰렛에서 이기는 법
34장 예쁜 아이를 낳는 법
35장 컴퓨터와 대화하는 법

피타고라스를 따르던 무리 중에 히파소스(Hippasos)라는 사람이 있었는데, 그는 정확하게 분수로 나타낼 수 없는 수들이 있다는 사실을 발견했다. 사실, 반듯하고 명명백백한 정사각형에도 이 기묘한 ‘무리수’가 숨어 있었다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 경우, 그 대각선 길이는 √2인데, √2는 바로 무리수이다.(2장 ‘유명한 수학자가 되는 법’ 참고.) √2를 정확하게 분수로 나타낼 수 있는 방법은 없다. 이 사실에 피타고라스는 크게 분노했고, 전설에 따르면 정수의 완전무결성에 위배되는 이단적인 사실을 발견해 퍼뜨렸다는 이유로 히파소스는 물에 빠져 죽었다고 한다. 그렇지만 히파소스의 생각은 옳았다. 무리수는 도처에 존재하며, 무리수를 피할 수 있는 방법은 없다.
오랫동안 사람들은 π도 무리수가 아닐까 하고 의심했다. 그렇지만 그 사실은 18세기에 가서야 독일의 요한 람베르트(Johann Lambert)가 확실하게 입증했다. π는 무리수이기 때문에 그것을 소수로 표시하면 3.14159265358979323846264…로 끝없이 계속되며, 일정 부분이 다시 반복되는 일도 없다. 바로 이런 이유 때문에 π는 기억력 테스트를 하기에 좋은 자료를 제공한다. 많은 사람들이 π의 값을 소수점 아래 몇 자리까지 외우는지 경쟁을 벌인다. 공인된 세계 기록은 2005년에 중국의 뤄차오(?超)가 세운 소수점 아래 6만 7890자리다. 다만, 공인된 기록은 아니지만, 일본의 하라구치 아키라(原口證)가 2006년에 소수점 아래 10만 자리까지 외우는 데 성공했다고 한다.

유한 단순군의 분류는 현대 수학이 거둔 큰 승리 중 하나인데, 거기에는 흥미로운 뒷이야기가 있다. 얼핏 보기에는 아무 관련도 없어 보이는 수학 분야인 현대 복소해석학(12장 ‘수학의 위대한 업적을 감상하는 법’ 참고)의 깊은 바닷속에는 ‘모듈러 형식(modular form)’이라는 영역이 자리 잡고 있다.
이 강력하지만 비밀스러운 대상은 최근에 페르마의 마지막 정리(2장 ‘유명한 수학자가 되는 법’ 참고)의 증명을 포함해 수학에서 중요한 역할을 했다. 이것은 유한군과 아무 관계도 없어 보이지만, 1979년에 존 콘웨이(John Conway)와 사이먼 노턴(Simon Norton)이 여기서 괴물의 선명한 발톱 자국을 발견했다. 그 괴물이 지닌 측면들을 나타내는 196883과 21493760 같은 수 역시 이 이질적인 형식에서 나타났다. 그들은 이 현상을 ‘달빛(moonshine)’이라 이름 붙였다. 그 연결 관계는 마침내 1992년에 리처드 보처즈(Richard Borcherds)가 분명하게 밝혀냈는데, 그는 이 연구로 필즈상을 받았다.