수학 100 - 2

머리말

051 조르당 곡선 정리 Jordan curve theorem
052 곡면의 분류 Classification of surfaces
053 기수 Cardinal numbers
054 벽지군 Wallpaper groups
055 디지털 기하학 Digital geometry
056 러셀의 역설 Russell’s paradox
057 특수 상대성 이론 Special relativity
058 삼체문제 The three-body problem
059 웨어링의 문제 Waring’s problem
060 마르코프 과정 Markov processes
061 일반 상대성 이론 General relativity
062 프랙탈 Fractals
063 추상대수학 Abstract algebra
064 매듭 다항식 Knot polynomials
065 양자역학 Quantum mechanics
066 양자장 이론 Quantum field theory
067 램지 이론 Ramsey theory
068 괴델의 불완전성 정리 G?del’s incompleteness theorem
069 튜링 기계 Turing machines
070 수치해석 Numerical analysis
071 정보 이론 Information theory
072 애로의 불가능성 정리 Arrow’s impossibility theorem
073 게임이론 Game theory
074 희한한 구면체 Exotic spheres
075 임의성 Randomness
076 연속체 가설 The continuum hypothesis
077 특이성 이론 Singularity theory
078 준결정 Quasicrystals
079 우정 정리 Friendship theorem
080 비표준 해석학 Non-standard analysis
081 힐베르트의 열 번째 문제 Hilbert’s tenth problem
082 생명 게임 The game of Life
083 복잡도 이론 Complexity theory
084 순회 세일즈맨 문제 The travelling salesman problem
085 혼돈 이론 Chaos theory
086 4색 정리 Four colour theorem
087 공개 키 암호 방식 Public key cryptography
088 타원 곡선 Elliptic curves
089 웨이어-펠란 구조 Weaire-Phelan foam
090 양자컴퓨터 Quantum computing
091 페르마의 마지막 정리 Fermat’s Last Theorem
092 케플러의 추측 Kepler’s conjecture
093 카탈랑의 추측 Catalan’s conjecture
094 푸앵카레의 추측 Poincar?’s conjecture
095 소수 별자리 Constellations of primes
096 유한단순군의 분류 The classification of finite simple groups
097 랭글랜즈 프로그램 Langlands program
098 역수학 Reverse mathematics
099 분할 Partitions
100 스도쿠 Sudoku

용어 설명
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052. 곡면의 분류(Classification of surfaces)

●돌파구 : 발터 폰 다이크는 위상기하학이라는 새로운 분야를 연구하면서 2차원 곡면의 완전한 목록을 만들 수 있었다.
●발견자 : 요한 리스팅, 아우구스트 뫼비우스, 펠릭스 클라인, 발터 폰 다이크.
●중요성 : 곡면의 분류는 20세기 전반에 걸쳐 수학을 바꾸어 놓은 위상기하학에서의 최초의 중대 사건 중 하나다.

1차원적인 모양은 곡선, 2차원적인 모양은 곡면이라고 부른다. 곡면의 가장 일반적인 예는 구이고, 그 밖에도 구멍이 뚫린 도넛 모양의 원환면 등 수많은 형태가 있다. 1882년 펠릭스 클라인이 새로운 곡면인 클라인 병을 발견한 것은 위상기하학에서 최초로 위대한 정리를 탄생시킨 계기가 되었다. 바로 존재하는 모든 곡면의 목록을 완성한 것이다.

이 세상에 존재하는 모든 곡면에 이름을 붙이자는 생각은 터무니없어 보인다. 실제로 전통적인 기하학의 관점에서 보면 말도 안 되는 일이다. 찻잔에서 프레첼까지, 세상에는 엄청나게 다양한 도형들이 존재한다(심지어 기하학 교과서에는 더 많은 도형들이 등장한다). 그러나 19세기 중반에 등장한 위상기하학이라는 새로운 분야에서는 이 도형들 중 대부분이 근본적으로 동일하다고 여긴다. 만일 한 도형을 변형시켜 다른 도형으로 만들 수 있다면 위상기하학자에게 그 두 도형은 하나이며 같은 것이다. 도형을 변형하는 방법에는 극단적으로 늘리기와 비틀기가 포함된다. 따라서 스파게티 가닥은 구와 동일한 것으로 간주된다. 그러나 자르거나 붙이는 것은 허용되지 않는다. 그러므로 찻잔은 구와는 다른데, 그 이유는 손잡이의 구멍을 제거할 수 없기 때문이다.

손잡이가 달린 구

찻잔은 위상기하학적으로 원환면(torus)과 같다. 찻잔의 차를 담는 부분은 구의 형태로 바꿀 수 있지만, 결정적으로 손잡이가 남는다. 손잡이를 구에 붙이면 새로운 도형이 만들어진다. 구에 두 개의 손잡이를 붙인 것(이중 원환면)은 일반 원환면과는 다르다. 찻주전자는 위상기하학적으로 이중 원환면이며, 프레첼은 구에 세 개의 손잡이가 붙은 삼중 원환면이다.
위에서 예를 든 곡면들은 모두 닫힌곡면이다. 즉, 종잇장과는 달리 모서리가 없다는 뜻이다. 이들 도형은 한 조각이며 무한평면과는 달리 유한한 면적을 갖는다. 1863년, 당시 71세였던 아우구스트 뫼비우스(August M?bius)는 이러한 조건을 만족시키고 3차원 우주 안에 존재할 수 있는 모든 곡면은 위상기하학적 측면에서 몇 개의 손잡이가 붙은 구의 형태라는 것을 증명했다.

뫼비우스의 띠

이 증명은 위대한 성과였지만, 이러한 곡면에 대한 이해는 다소 불완전하긴 했어도 이미 존재했었다. 이는 희한한 발견에서 비롯된 것이었다. 1847년 요한 리스팅(Johann Listing)은 직사각형으로 자른 종잇조각을 놓고 고민하고 있었다. 이 종이 띠의 한쪽 끝을 다른 쪽 끝에 붙이면 원통이 만들어진다. 이것은 모서리가 있으므로 닫힌곡면이 아니며, 여기에 뭔가 특별한 것이 있는 것도 아니었다. 원통은 아르키메데스 시대부터 잘 알려진 도형일 뿐이었다. 그러나 구조를 살짝 바꾸자 완전히 새롭고 흥미진진한 것이 만들어졌다. 띠를 끝에 붙이기 전에 반 바퀴를 비틀자 원통이 아닌 무언가 새로운 것이 만들어졌다. 놀랍게도 이 물체는 면이 단 하나뿐이었다. 리스팅이 손가락으로 종이의 안쪽 면을 따라 훑어나가자, 손가락은 안쪽 면과 바깥쪽 면을 모두 지나 출발점으로 돌아왔다.
1858년 뫼비우스는 독자적으로 같은 내용을 발견했고, 이 도형 ‘뫼비우스의 띠’에는 그의 이름이 영원히 남게 되었다. 이 매력적인 도형은 사람들을 어리둥절하게 만드는 여러 가지 흥미로운 특성을 가진다. 예를 들어 이 띠를 중심선을 따라 자르면 두 개의 새로운 뫼비우스의 띠로 분리되는 것이 아니라 두 번 꼬인 단일한 띠가 된다.

클라인 병

예상치 못한 놀라운 특징을 가진 뫼비우스의 띠는 기하학자들에게 더 심오한 도전 과제를 안겨 주었다. 면이 하나뿐인 이 도형은 어떻게 곡면의 범주에 들어갔을까? 물론 띠 그 자체는 모서리가 있으므로 닫힌곡면이 아니다. 따라서 뫼비우스의 띠는 뫼비우스의 정리에 모순되지 않는다. 그럼에도 의문이 생긴다. 이전에 알려진 모든 곡면들은 양면이 있었다. 모서리도 없고 오직 한 면만 가진 닫힌곡면이 존재할 수 있을까?
놀랍게도 그 답은 ‘그렇다’이다. 이는 1882년 펠릭스 클라인(Felix Klein)이 발견했는데, 그의 답에는 조건이 있었다. 클라인 병(Klein bottle)으로 알려진 이 아름다운 도형은 두 개의 뫼비우스 띠를 가지고 띠의 양 끝을 붙여 만든 것이다. 그런데 만약 집에서 직사각형 종이 두 장과 풀 한 통을 가지고 클라인 병을 만들어 보려고 한다면 결과물은 엉망진창이 될 것이다. 클라인은 이것을 만드는 방법을 발견했지만, 곡면이 스스로를 통과하도록 해야만 했다. 오늘날 클라인 병은 유리로 만드는데, 곡면이 자신을 뚫고 지나가는 부분에서 언제나 결함이 생긴다. 그러나 그 자체로 보면 클라인 병은 완벽하게 일관된 곡면이다. 단 하나의 결함이 생기는 이유는 이 병을 3차원 공간에서 만들려고 하기 때문이다. 4차원 세상에서는 결함 없는 클라인 병을 쉽게 만들 수 있다.

폰 다이크의 정리

클라인 병은 단순히 새로 발견된 희한한 곡면이 아니었다. 뫼비우스가 구에서 시작해 구에 손잡이를 붙인 것처럼, 이제는 도형에 구멍을 내고 뫼비우스의 띠를 바느질하는 것이 가능해졌다. 이로 인해 3차원 공간에서는 완벽하게 존재할 수 없었던 새로운 종류의 방향성 없는 곡면이 만들어졌다.
1888년 클라인의 제자였던 발터 폰 다이크(Walther von Dyck)는 기존에 있던 뫼비우스의 분석을 보완하고 살을 덧붙여 새로운 학문인 위상기하학의 아름다운 정리를 만들어 냈다. 2차원상의 모든 닫힌곡면은 위상기하학적으로 단순한 구이거나, 구에 손잡이가 붙은 형태 또는 구에 몇 개의 뫼비우스 띠를 이어 붙인 형태 중 하나여야 한다는 사실을 증명한 것이다.