수학 바로 보기

머리말

제1부
제1장 수란 무엇인가? - 수는 '꽃'이며 '이름'이다
제2장 수식이란 무엇인가? - 수식은 '언어'이다
제3장 수의 분류
제4장 수학과 시공간
제5장 수학이란 무엇인가? - 수학은 '게임'이다
제6장 집합론과 명제론

제2부
제7장 함수란 무엇인가? - 함수는 '영화'다
제8장 수학과 세계관
제9장 수열과 급수
제10장 미적분
제11장 벡터, 행렬, 복소수
제12장 경우의 수, 확률, 통계
제13장 몇 가지 뒤풀이

부록
그리스 문자
마치면서 - 진취적 기상을 갖자
찾아보기

뒤 표지의 ‘10대 새김글’ 관련 쪽
·수는 꽃이며 이름이다(29쪽) ·수식은 언어이다(45쪽)
·수학은 게임이다(146쪽) ·공리와 정의는 약속이며 규칙이다(155쪽)
·함수는 영화이다(245쪽) ·학문에 왕도는 없되 정도는 있다(845쪽)
·수학의 본질은 자유에 있다(771쪽) ·존재는 모순 속에 피는 꽃(794쪽)
·진리가 너희를 자유케 하리라(821쪽) ·진취적 기상을 갖자(876쪽)
이 ‘10대 새김글’은 가장 핵심적으로 새겨둘 만한 구절들이다. 이를 처음 대할 때는 좀 추상적으로 느낄 수도 있다. 하지만 이 책을 읽어가면서 수학에 대한 이해가 깊어짐에 따라 궁극적으로는 오히려 뼈에 닿도록 절실하게 다가올 것이다. 나아가 바로 이런 측면이야말로 수학이 단순한 ‘숫자 놀이’, ‘수식 다루기’, ‘문제풀이’ 등에 그치지 않고 인간의 가장 심오한 지적 활동으로 연결되는 모습을 잘 보여준다고 말할 수 있다. 따라서 이 책을 통하여 수학을 배워 가는 동안 자주 돌이켜보고 되풀이해서 음미할 필요가 있다.

유리수의 경우 어떤 수에 대한 다음 수가 존재하지 않는다는 사실은 참으로 놀라운 수의 신비 중 하나이다. 이를 파악하기 위하여 수를 점에 대응시킨 것, 즉 수직선을 생각해보자. 수직선에는 왼쪽에서 오른쪽으로 작은 수로부터 큰 수의 순서로 모든 유리수가 늘어서 있다. 따라서 우리는 이 상황을 운동장에 키 순서로 늘어선 학생들에 비유하고 싶은 충동을 느낀다. 하지만 이 비유에는 커다란 맹점이 있다. 학생들의 줄에서는 어떤 학생에 대한 ‘다음 학생’이 반드시 존재한다. 그리고 이것은 우리의 일상 경험상 조금도 이상할 게 없다. 그러나 신비롭게도 유리수의 경우 분명히 크기 순으로 늘어서 있음에도 불구하고 어떤 수에 대한 다음 수를 딱 꼬집어낼 수 없다. 이런 현상은 우리의 현실적인 일상 경험에서는 전혀 찾아볼 수 없는 것이므로 아무리 머리를 쥐어짜도 수직선의 정체는 명확히 파악되지 않는다. 다시 말해서 수직선의 궁극적인 본 모습은 인간의 상상력을 초월하므로 오직 논리적 추리를 통하여 접근할 수밖에 없다. 언뜻 아주 단순한 것으로 여겼던 수직선이란 개념에 이토록 난해한 현상이 숨어 있을 줄 누가 알았으랴? 그런데 수직선의 신비는 여기서 그치지 않으며, 실수에는 더욱 놀라운 현상이 담겨져 있다.

소수에 관하여 살펴본 이상의 내용을 화학에 비유하여 “소수는 원소, 합성수는 분자에 해당한다”고 이해하면 편하다. 특히 유의할 것은 ‘1’은 소수에 넣지 않는다는 점이다. 그 배경에는 아래에 쓴 것과 같은 이유가 있다. 반대로 1은 또한 합성수에도 속하지 않는다는 점은 자명하다. 1, 2, 3, …으로 끝없이 이어지는 자연수 가운데 소수도 합성수도 아닌 수는 1 하나뿐이다. 이런 점에서 볼 때 1은 자연수체계에 있어서 소수보다 더 근본적인 요소로서, “천상천하 유아독존” 격의 독보적 존재이다. 대개의 교재들은 자연수에서 1을 별도로 분류하지 않는다. 그러나 여기서는 이와 같은 1의 특수성을 고려하여 따로 분류했다. 1에 대해서는 좀더 살펴볼 내용이 있는 바, 711쪽에 쓴 <‘1’의 의미를 되새기며>에서 다시 생각해보기로 한다.