수학자가 들려주는 진짜 논리 이야기

시작하며

1부 왜 논리인가
01 논리와 친해지기
논리는 머리가 아니라 몸으로 익히는 것 / 논리적 사고의 시작, 인정할 것은 인정하기 / 현대인의 필수 능력, 판단력과 분별력 / 학생들은 미래에 대해 조급해 할 필요가 없다
02 정확함이라는 미덕
가르친다는 사람, 가르킨다는 사람 / 우리말의 어려움 / 한자어로 인한 어려움
03 따지기와 지적하기
따지는 것과 친해지기 / 지적문화 / 주변에서 마주하는 사소한 불합리들

제2부 논리적 사고
04 논리학의 기본
그리스와 아라비아의 수학과 논리학 / 명제와 논증 / 논리의 시작은 ‘모든’과 ‘어떤’
05 학교에서 배우는 논리와 수학
학교에서 집합을 안 배워요 / 수학은 원래 어렵다 / 새로운 개념 받아들이기 / 토론을 잘 하려면
06 논리학과 수학
논리학, 집합론, 수학기초론 / 기호의 힘 / 논리적 사고의 예
07 패러독스 이야기
제논의 패러독스 / 러셀의 패러독스 / 베리의 패러독스 / 상트페테르부르크 패러독스 / 바나흐·타르스키 패러독스
08 여섯 가지 유형의 오류
성급한 일반화의 오류 / 이분법적 논리의 오류 / 필요조건, 충분조건의 혼동에 의한 오류 / 잘못된 가정에 의한 오류 / 확증편향의 오류 / 과학적 소양 부족에 의한 오류

제3부 현대논리학의 발전
09 새로운 논리학의 시작
19세기 독일의 발전 / 고틀로프 프레게 / 주세페 페아노 / 버트런드 러셀
10 수리논리학의 발전
새로운 논리학의 네 가지 특징 / 칸토어, 무한에 대해 말하다 / 논리주의, 형식주의, 직관주의 / 괴델의 불완전성정리와 형식주의의 붕괴
11 현대의 논리학
위대한 논리학자 타르스키 / ZF 공리계와 선택공리 / 튜링머신과 계산가능성

제4부 수학 품은 논리학
12 원소들의 모임, 집합
집합을 알려면 기호부터 알아야 한다 / 모든 부분집합의 집합, 멱집합
13 무한의 이해
무한을 이해하려면 함수부터 알아야 한다 / 무한집합에도 크고 작은 것이 따로 있다 / 무한집합론의 핵심 칸토어의 정리 / 무리수는 유리수보다 더 많다 / 합집합 논법

찾아보기

논리와 합리는 ‘인정할 것은 인정하는 것’에서 출발한다. 사실을 사실로 받아들이는 태도, 누군가가 맞는 말을 하면 그것을 인정하는 태도가 필요하다. 눈앞에 벌어진 상황이 자기에게 불리하더라도 인정할 것은 인정하는 태도와 자신의 과오가 있을 때 그것을 변명하지 않고 시인하는 태도가 필요하다. 불합리한 판단이나 언행은 주로 이런 기본이 잘 지켜지지 않을 때 발생한다. 논리적 사고력이 수학처럼 반복연습으로 향상하는 것과 마찬가지로 옳은 것을 인정하고 수용하는 태도도 습관화와 연습의 결과로 길러질 수 있다. 토론할 때 상대방의 말이 맞고 반박할 여지가 없는데도 그 말을 인정하지 않는 사람이 많다. 그러나 자신이 토론에서 좋은 평가를 받고 싶다면 인정할 것은 인정하는 태도를 보여야 한다. 어떤 사람이 맞는 말을 하더라도 결론적인 의견이 자기 의견과 다르면 “그 사람이 말은 잘해”라고 하면서 그 사람의 의견을 인정하지 않으려고 하는 경우가 많다. 우리나라에는 말을 잘하는 사람을 별로 좋아하지 않는 경향이 있다. 미국에서는 말을 잘하는 사람을 높이 평가하지만, 우리나라에서는 그다지 높이 평가하지 않는다. 이런 점에서 두 나라의 문화는 제법 차이가 큰 편이다.
-제1부 <왜 논리인가?> 중에서

논리학은 추론과 논증의 과정과 방법론을 연구하는 학문이다. 논증이란 어떤 것이 참인지 거짓인지를 기존의 지식에 의거하여 판정하는 과정이다. 명제란 참과 거짓을 판정할 수 있는 ‘객관성을 갖는’ 문장을 말한다. 추론이란 어떠한 명제나 판단을 근거로 삼아 다른 명제나 판단을 이끌어 내는 것을 말한다. 논리학에서는 논증이라는 과정을 통해 명제 또는 추론이 참인지 거짓인지를 판정한다. 명제의 참, 거짓을 따지는 고전적인 명제논리학(혹은 문장논리학)을 기호의 사용과 더불어 프레게 등이 개척했고, 이를 술어논리학predicate logic이라고 부른다.
어떤 문장을 서술하거나 그 문장 내용의 진실 여부를 판정할 때 ‘논리기호’를 사용하면 편리하므로 현대논리학에서는 기호를 본격적으로 사용한다. 그래서 그런 새로운 술어논리학을 기호논리학이라고 부르기도 한다. 기호논리학의 기호 사용법을 모두 소개하기에는 과다할 수 있으니 여기서는 핵심적인 기호 몇 개만 소개하고자 한다. 이 기호들은 순수한 수학적 문장에서도 자주 등장하는데, 이것들을 사용할 때는 영어(유럽어) 문법으로 표현하는 것이 한국어 문법으로 표현하는 것보다 더 편할 때가 많다.
-제2부 <논리적 사고> 중에서

수학에서 언어적인 의미를 잘 이해하지 못해 오해가 생기는 예도 하나 들어보자. ‘각의 삼등분 작도 문제’라는 유명한 문제가 있다. 이 문제는 프랑스의 피에르 방첼Pierre Wantzel이 1837년에 작도할 방법이 없음을 보여 이미 끝난 문제인데, 아직도 이 문제를 풀겠다는 사람이 많다. 의외로 많은 사람이 자와 컴퍼스만으로 임의의 각을 삼등분하는 방법을 찾아 나서거나 자신이 이미 찾았다고 주장하는 것이다. 이는 그들이 “삼등분하는 방법이 존재하지 않는다”라는 말과 “삼등분하는 방법을 찾지 못한다”라는 말의 의미에 어떤 차이가 있는지를 이해하지 못해서 발생하는 해프닝이다. 나는 지금까지 두 명의 이공계 대학교수에게서 자신이 삼등분 작도 문제를 풀었으니 검토해달라는 이메일을 받은 적이 있다. 외국에도 그런 사람이 많아 그들을 트라이섹터trisector라고 부른다.
예전에 한 사람이 원주율 ��의 작도법을 자신이 찾았다고 주장하면서 서울대 수학과 교수들을 쫓아다니며 괴롭히다가 교수들이 응대해주지 않자 스스로 거금의 광고비를 들여 주요 일간지에 자신의 증명을 실었던 적이 있었다. ��의 초월성은 1882년에 독일의 린데만Ferdinand von Lindemann(1852~1939)이 이미 증명했고, 따라서 ��는 초월수이므로 작도할 수 없으니(작도할 수 있다는 말은 그것이 다항식의 근이 되는 수, 즉 대수적 수라는 뜻이다), 수학과 교수들은 그가 제시한 작도법을 쳐다보려고도 하지 않았을 것이다. 실은 ��의 작도법을 찾았다고 주장한 사람은 ��의 진짜 값이 아니라 그것의 근삿값을 작도한 것이었다.
-제2부 <논리적 사고> 중에서