아빠마음 중학수학 3 - 상

Ⅰ 제곱근과 실수

1. 제곱근과 그 성질
제곱근의 뜻과 표현 16
제곱근의 성질 26
제곱근의 크기 비교 39
무리수와 실수 45
실수와 수직선 51
실수의 크기 비교 60

2. 제곱근의 계산
제곱근의 곱셈 74
제곱근의 나눗셈 85
분모의 유리화 92
도형에서의 제곱근의 곱셈, 나눗셈 98
제곱근의 덧셈과 뺄셈 111
제곱근 식의 계산 116

Ⅱ 인수분해와 이차방정식

1. 다항식의 곱셈
다항식과 다항식의 곱셈 146
곱셈 공식 151
곱셈 공식을 이용한 분모의 유리화 164
곱셈 공식의 활용 172
교과서 바깥의 얘기들 복잡한 다항식의 곱셈 풀기 186

2. 인수분해
공통인수를 이용한 인수분해 188
곱셈공식을 이용한 인수분해 - 제곱 공식 196
완전제곱식이 되기 위한 조건 203
곱셈공식을 이용한 인수분해 - 합과 차의 곱셈 208
곱셈공식을 이용한 인수분해 - x2의 계수가 1인 이차식 212
곱셈공식을 이용한 인수분해 - x2의 계수가 1이 아닌 이차식 220

3. 이차방정식
이차방정식의 해 238
이차방정식의 풀이 241
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 247
제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이 253
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 258
이차방정식의 근의 공식 264
복잡한 형태의 이차방정식 풀이 273
이차방정식의 근과 계수의 관계 276
이차방정식의 활용 - 넓이, 부피 282
이차방정식의 활용 - 숫자, 속력과 높이 287

Ⅲ 이차함수

1. 이차함수와 그래프
이차함수의 뜻 304
이차함수 y=x2 310
이차함수 y=-x2 316
이차함수 y=ax2 320
이차함수 y=ax2+q 330
이차함수의 y절편, x절편 338
이차함수 y=a(x-p)2 340
유용한 팁 평행이동 352
이차함수 y=a(x-p)2+q 354
이차함수 y=ax2+bx+c 367
이차함수의 식 구하기 383

복잡한 다항식의 곱셈 풀기
_교과서 바깥의 얘기들

몰라도 좋지만 알아두면 더 좋은 참고사항들이다. 물론 건너뛰어도 좋다.

이번 단원에서 가장 중요한 내용 중의 하나는 다항식의 곱셈 (a+b)(c+d)일 것이다. 다항식의 곱셈을 기초로 해서 합의 제곱, 차의 제곱, 합과 차의 곱 등등 다양한 공식이 만들어 졌다. 만약 다항식이 더 복잡한 경우에는 그 결과가 어떻게 될까? 예를 들어 (a+b+c)(d+e)를 전개하면 어떻게 될까? 한번 결과를 살펴보자.

다항식의 곱셈을 전개하는 방법은 하나의 다항식을 단항식처럼 간주하고 분배법칙을 잘 활용하면 된다. 우리는 뒤쪽의 (d+e)를 M이라고 놓고 풀어보기로 하자.

(a+b+c)(d+e)=(a+b+c)M=aM+bM+cM 이 되고,
원래대로 M을 돌려놓으면

aM+bM+cM=a(d+e)+b(d+e)+c(d+e)이 되니 각각을 다시 분배법칙을 써서 괄호 안과 바깥을 곱해준다.

a(d+e)+b(d+e)+c(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce 가 된다.
정리하면

(a+b+c)(d+e)=(a+b+c)M
=aM+bM+cM
=a(d+e)+b(d+e)+c(d+e)
=ad+ae+bd+be+cd+ce

전개 결과만 정리하면 다음과 같다.

(a+b+c)(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 와 비교해보자. 어떤 것들을 발견할 수 있는가?

(a+b)(c+d)에서 각 다항식은 항이 2개씩이므로 전개식의 항의 개수는 2×2=4가 된다. (a+b+c)(d+e)의 전개식은 3×2=6개의 항을 가지게 된다.

그리고 전개식의 각각의 항은 왼쪽 다항식 안에 있는 항들을 서로 차례차례 오른쪽 다항식의 항들하고 곱한 결과이다. 너무 당연한가?

제곱공식을 이용한 인수분해에서 양의 제곱근만 사용하는 이유

x2+6x+9=(x)2+2(x)(3)+(3)2

우리는 제곱공식을 이용한 인수분해를 할 때 위와 같이 식을 인수분해 했다.
여기서 잠깐, 위의 인수분해에서 한 가지 이상한 점이 있다는 것을 발견할 수 있다.
어떤 수를 제곱하면 9가 되는가? 즉, 9의 제곱근은 무엇인가?
9의 제곱근은 3과 -3이다. 마찬가지로 x2의 제곱근은 ±x이다.
그런데 왜 우리는

x2+6x+9=(x)2+2(x)(3)+(3)2

위와 같이 9의 제곱근 중에서는 3을 이용하고 x2의 제곱근 중에서는 x만을 사용해서 인수분해를 하는 것일까? (3)2대신에 (-3)2 또는 (x)2대신에 (-x)2이라고 생각하면 안 되는 것일까?

이 질문에 대해 잠시 생각해보고 넘어가기로 하자.

실제 x와 3의 부호에 따라 어떻게 인수분해가 달라지 게 되는지 살펴보자.

① x2=(x)2이고 9=(3)2이라고 할 경우
x2+6x+9=(x)2+2(x)(3)+(3)2 a2+2ab+b2=(a+b)2 이용
=(x+3)2
② x2=(-x)2이고 9=(-3)2이라고 할 경우
x2+6x+9=(-x)2+2(-x)(-3)+(-3)2 a2+2ab+b2=(a+b)2 이용
={(-x)+(-3)}2
={-(x+3)}2
=(x+3)2