하루 한 권, 기하학

들어가며

제1장 태초에 기하학이 있었다!
1-1 기하란?
1-2 유클리드 원론』에 나오는 '점, 선, 면'이란?
1-3 차원을 한 단계 높여서 쉽게 답 찾기
1-4 원은 왜 360°도일까? 라디안이란?
1-5 '평행선이 만나는 것'의 역발상
1-6 '내각의 합은 180°'의 증명을 쉽고 간단하게
1-7 연필 회전법으로 각도 측정하기
COLUMN 기하학에 왕도는 있다? 유클리드에게 반론 제기!

제2장 기하의 기본은 '변형'
2-1 직사각형의 넓이가 가로×세로인 이유
2-2 넓이는 그대로 두고 간단한 도형으로 바꿔 생각하기
2-3 형태를 바꿔 간단하게 만들기
2-4 삼각형 넓이로부터 '수열의 공식' 도출하기
2-5 학구산도 넓이로 생각하면 간단!
2-6 소금물의 농도도 면적산으로 구하기
2-7 벌집과 디리클레 도형
2-8 강한 삼각형, 약한 사각형
COLUMN 1796년 3월 30일, 가우스의 진로를 결정한 사건

제3장 원과 π의 신비에 도전
3-1 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이 구하기
3-2 정사각형으로부터 원의 넓이를 구한 고대 이집트 사람들
3-3 『린드 파피루스』의 원의 넓이 문제에 도전
3-4 아르키메데스의 실진법을 통한 원주율 접근
3-5 직감으로 파악하는 '원의 넓이'
3-6 무게로부터 원주율 구하기
3-7 이쑤시개로 원주율을 구하는 뷔퐁의 바늘
3-8 원주율이 3.1보다 크다는 사실을 증명하려면?
3-9 내주와 외주에는 어느 정도 차이가 있을까?
3-10 대발견을 이끈 케플러의 실진법
COLUMN 편지에 일부터 틀린 정리를 적었던 아르키메데스

제4장 피타고라스의 정리와 삼각비의 지혜
4-1 피타고라스의 정리는 기하학의 보배
4-2 기하의 세계에서 탄생한 '무리수'
4-3 '밧줄 측량사'의 정리?
4-4 피타고라스의 정리 증명하기
4-5 sin, cos, tan의 위치 관계 기억하기
4-6 알아두면 편리한 사인 정리·코사인 정리
4-7 곱자로 루트를 계산하는 지혜
COLUMN 피타고라스 '학파'의 정리?

제5장 쉽게 이해되는 부피의 세계
5-1 삼각뿔은 삼각기둥의 !
5-2 카발리에리의 원리
5-3 구의 부피도 카발리에리의 원리로 구하기
5-4 구의 겉넓이를 산출하는 방법
5-5 지구의 무게 측정해 보기
5-6 후지산의 부피를 여러 개의 원뿔대로 구하기
COLUMN 세키 다카카즈의 수학 업적

제6장 합동·닮음의 심오한 세계
6-1 합동과 닮음, 의외의 오해?
6-2 삼각형의 합동 조건, 닮음 조건이란?
6-3 피라미드의 높이를 닮음비로 측정
6-4 '공간 도형의 비'로 피라미드의 높이 구하기
6-5 슐리만도 놀란 휴지로 나무 높이를 재는 방법
6-6 모든 포물선은 닮음?
6-7 선대칭, 점대칭의 시선에서 사물 보기
6-8 시의 상징과 가문 문양의 대칭성 퀴즈
COLUMN 최초의 수학자 탈레스의 지혜

제7장 적분으로 곡선 도형의 넓이 구하기
7-1 매스매티카 섬의 넓이를 추산하는 방법
7-2 매스매티카 섬의 진짜 넓이에 조금씩 가까워지기
7-3 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이
7-4 인티그럴로 '구간'을 적분하기
7-5 을 적분하면?
7-6 얇게 썬 조각으로부터 원래의 부피 구하기
7-7 회전체의 부피를 적분으로 구해 보기
7-8 원뿔의 부피가 '정확히 원기둥의 '이 되는 증명!
COLUMN 뉴턴은 '마지막 수메르인'?

제8장 신기한 '기하 우주'
8-1 토폴로지는 고무판 기하학
8-2 데포르메 지도는 '본질에 접근하는' 토폴로지 적 발상
8-3 오일러의 '한붓그리기'로 난제 풀기
8-4 '비유클리드'라는 이름의 새로운 기하학
8-5 필즈상과 100만 달러 상금을 거절한 수학자
8-6 프랙털은 '자기 닮음'의 기하학
8-7 프랙털 차원을 계산하기
8-8 아마존, 나일강의 프랙털 차원을 계산하는 방법
COLUMN 오일러가 공주에게 보낸 편지 - 기하학에 왕도가 있다!

주요 참고 도서

수학의 역사를 거슬러 올라가 보면 그 시작은 수를 세고 도형을 분석하기 위해서였다고 합니다. 그래서인지 수학이 비약적으로 발전한 그리스 시대에는 ‘수학=기하학(철학)’이었습니다.

위대한 수학자 가우스는 ‘정수론은 수학의 여왕’이라고 했습니다. 그렇다면 ‘기하학은 수학의 왕’이라고 할 수 있겠습니다. 기하를 통해 본질을 쉽게 이해할 수 있기 때문입니다.

알렉산드로스 대왕 사망 후 그리스·페르시아·인도에 이르는 대제국은 후계자들에 의해 분할됐다. 그중 현재의 이집트 부근을 지배한 인물이 프톨레마이오스 1세다. 프톨레마이오스는 학술 문화의 부흥에 힘을 쏟았고 다수의 학자를 초빙했다. 기원전 300년경의 유클리드도 그중 한 명이었다.